Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.6 - Ex. 8
Nos Exercícios 7-10, identifique, a partir de seu gráfico, se a função é injetora.
8.
Passo 1
Para resolvermos os exercícios do 7-10, devemos lembrar da definição de função injetora, tudo bem?
Uma função é injetora em um domínio se , sempre que em .
Há duas formas de provar se uma função é injetora ou não. A primeira é pelo gráfico. Se traçarmos uma reta paralela ao eixo (imaginária) e o gráfico da função tocar a reta 2 vezes, isso implica que a função não é injetora; mas caso toque apenas 1 vez, isso implica que a função é injetora.
A segunda maneira é usando a definição e atribuindo valores a , ou seja, se aplicarmos 2 valores distintos de na função e der o mesmo valor de , isso implica que a função não é injetora.
Passo 2
Agora que sabemos como provar a injetividade, vamos plotar o gráfico das funções que nos foi dada, beleza? O gráfico vai ser o seguinte:
No qual é a função azul e é a função verde.
Passo 3
Por fim, se utilizarmos a primeira maneira para provar se a função é injetora, teremos:
Para . Sendo assim, se traçarmos retas paralelas ao eixo é nítido que as retas não tocarão a função em mais de um ponto, ou seja:
Portanto, para é injetora!
Para . Sendo assim, se também traçarmos retas paralelas ao eixo é nítido que as retas não tocarão a função em mais de um ponto, ou seja:
Portanto, para é injetora!
Como para todo o domínio de as funções se mostraram injetoras, isso implica que é injetora!
Resposta
é injetora.