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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 41

Ache o valor máximo absoluto atingido pela função f se f x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x , onde A ,   B e k são constantes positivas.

Passo 1

Seja θ o ângulo de inclinação do segmento que une a origem ao ponto ( A ,   B ) do primeiro quadrante. Esse segmento forma um triângulo retângulo de catetos A (adjacente) e B (oposto) e hipotenusa A 2 + B 2 . Diante disso, já pegamos as seguintes relações.

sen ⁡ θ = B A 2 + B 2                             cos ⁡ θ = A A 2 + B 2

Passo 2

Agora vamos manipular f ( x ) da seguinte forma:

f x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x = A 2 + B 2 A 2 + B 2 ⋅ A sen ⁡ k x + A 2 + B 2 A 2 + B 2 ⋅ B cos ⁡ k x

f x = A 2 + B 2 A A 2 + B 2 ⋅ sen ⁡ k x + B A 2 + B 2 ⋅ cos ⁡ k x

Substituímos as relações do passo 1.

f x = A 2 + B 2 sen ⁡ k x ⋅ cos ⁡ θ + cos ⁡ k x ⋅ sen ⁡ θ ⏟ sen ⁡ ( k x + θ ) = A 2 + B 2 ⋅ sen ⁡ ( k x + θ )

f x = A 2 + B 2 ⋅ sen ⁡ ( k x + θ )

Perceba que A e B são constantes e o maior valor que a função seno assume é 1 . Sendo assim o maior valor que f irá assumir, será:

f x = A 2 + B 2 ⋅ 1 = A 2 + B 2

O máximo absoluto será f x = A 2 + B 2 .

Resposta

A 2 + B 2

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