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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 56

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

5 6 .   ∫ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Vamos resolver essa questão pelo método de integração por partes, então vamos lembrá-la:

∫ f ⋅ d g = f ⋅ g - ∫ g ⋅ d f

Onde: f = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) e d g = d x

Passo 2

Integrando:

∫ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ⋅ x - ∫ x ⋅ 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x   d x

= ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ⋅ x - ∫ 2 x 2 x 2 + 1   d x

= ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ⋅ x - 2 ∫ x 2 x 2 + 1   d x

Passo 3

Vamos integrar separadamente ∫ x 2 x 2 + 1   d x :

∫ x 2 x 2 + 1   d x = ∫ x 2 + 1 - 1 x 2 + 1   d x  

= ∫ x 2 + 1 x 2 + 1 - 1 x 2 + 1   d x  

= ∫ 1 - 1 x 2 + 1   d x  

De forma tabelada sabemos que:

1 x 2 + 1 = a r c t g   x

Então:

= ∫ d x -   ∫ 1 x 2 + 1 d x = x - a r c t g   x + c

Passo 4

Juntando no resultado:

∫ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ⋅ x - 2 ( x - a r c t g   x )

= ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x - 2 x - 2 a r c t g   x + C  

Resposta

∫ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = x [ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) - 2 ] - 2 a r c t g   ( x ) + C

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