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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 12

Nos Exercícios de 1 a 16, encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

1 2 )   F x = x x 2 + 4  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

F x = x x 2 + 4 = x . ( x 2 + 4 ) - 1

F ' x = 1 . ( x 2 + 4 ) - 1 + x . - 1.2 x . x 2 + 4 - 2 = x 2 + 4 - 1 - 2 x ² x 2 + 4 - 2

F ' ' x =   - 2 x x 2 + 4 - 2 + - 4 x x 2 + 4 - 2 + 4 x 2 . 2 x . x 2 + 4 - 3 = - 2 x x 2 + 4 2 - 4 x x 2 + 4 2 + 8 x ³ x 2 + 4 3 = 2 x ( x 2 - 1 2 ) x 2 + 4 3

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por F ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando F ' ' x = 0 :

2 x ( x 2 - 12 ) x 2 + 4 3 = 0

x ' = 2 3                                             x ' ' = - 2 3                                         x ' ' ' = 0    

Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão nestes pontos, precisamos verificar se F ' ' x muda de sinal.

Sendo assim, x = 0 ,     x = 2 3   e   x = - 2 3   são pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função e traçando as retas tangentes aos pontos de inflexão:

Resposta

Pontos de inflexão: x = 0 ,     x = 2 3   e   x = - 2 3 .

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