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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 17

Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.

1 7 .     D x [ x + 1 s e n x - x c o s x ]  

Passo 1

Usaremos a regra do produto para resolver os dois termos da derivada separadamente e depois juntar para subtraí-los.

D x x + 1 s e n x - x c o s x = x + 1 s e n x ' - x c o s x '  

Regra do produto:

f x ⋅ g ( x ) ' =   f x ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Passo 2

1º termo:

x + 1 s e n x ' =   x + 1 ' ⋅ s e n x + s e n x ' ⋅ x + 1

                                                            = 1 ⋅ s e n x + x c o s x + c o s x  

2º termo:

x c o s x ' =   x ' ⋅ c o s x + c o s x ' ⋅ x

                                    = 1 ⋅ c o s x - x s e n x

Passo 3

Vamos juntar tudo:

D x x + 1 s e n x - x c o s x = x + 1 s e n x ' - x c o s x '

                                              = [ 1 ⋅ s e n x + x c o s x + c o s x ] - [ 1 ⋅ c o s x - x s e n x ]          

  = s e n x + x c o s x + c o s x - c o s x + x s e n x

                                                                                              = s e n x + x c o s x + x s e n x

Resposta

D x x + 1 s e n x - x c o s x = ( x + 1 ) s e n x + x c o s x ]

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