Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f(w) = 3 * cos(2w); [1/6 * pi, 3/4 * pi]

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

  1. Determinar a derivada da função.
  2. Fazer f ' x = 0 e depois encontrar os valores de x para os quais f ' x   não existe.
  3. Achar os valores de x que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
  4. Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
  5. Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

A derivada da f vai ficar:

f ' w = - 6 sin ⁡ 2 w

Passo 3

No nosso caso, não precisamos nos preocupar com os casos onde f ' w não existe, já que o seno está definido para todo valor de w . Vamos fazer f ' w = 0 :

- 6 sin ⁡ 2 w = 0

Ou seja:

sin ⁡ 2 w = 0

Ficaremos com os múltiplos inteiros de π dentro do argumento do seno, que são os pontos onde o seno zera. Ou seja:

2 w = n π

Onde n   ∈ Z .

E daí temos que:

w = n 2 π

Passo 4

Agora vamos considerar o intervalo que estamos analisando: 1 6 π , 3 4 π

Precisamos que w esteja dentro desse conjunto e também satisfaça a equação em função de n que encontramos acima. Se fizermos n = 1 :

w = 1 2 π

Está dentro do nosso intervalo, então é um ponto crítico!

Para n = 2 :

w = π

Que já está fora do nosso intervalo. Então só teremos 1 ponto crítico no interior do intervalo, que é: w = 1 2 π .

Passo 5

Fazendo f 1 2 π :

f 1 2 π = 3 cos ⁡ 2 1 2 π = 3 cos ⁡ π = - 3

Passo 6

Agora podemos fazer um esboço mais fiél do gráfico da função com essa informação. A nossa função tem a cara de um cosseno com amplitude 3 , mas apenas no intervalo que a questão nos dá.

Passo 7

Do gráfico dá pra ver que o ponto de máximo absoluto nesse intervalo é o valor da função no limite inferior do intervalo estipulado. Ou seja, nosso máximo absoluto está em w = 1 6 π

f 1 6 π = 3 cos ⁡ 2 1 6 π = 3 cos ⁡ 1 3 π = 3 ∙ 1 2 = 1,5

Que condiz com o nosso gráfico!

Resposta

Mín. absoluto: f π 2 = - 3

Máx. absoluto: f 1 6 π = 1,5

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