Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 9d

Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

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Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

Igualando a zero:

Daqui tiramos que os pontos críticos da função, isto é, os valores de que solucionam a equação acima, são: e .

Passo 2

Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:

Portanto, podemos concluir que é um ponto de mínimo. No entanto, não conseguimos se é um ponto de mínimo ou de máximo, dessa forma, vamos utilizar a derivada primeira para tentar tirar alguma conclusão, tudo bem? Assim como vimos, nossa derivada primeira nos dá:

Para temos que , então é crescente neste intervalo. Po, tem algo estranho! Se para a função é crescente, então é impossível que seja um ponto de máximo ou mínimo relativo, não é mesmo? Sim, exatamente! Dessa forma, podemos escrever que:

Pontos de máximo: Não existem:

Pontos de mínimo: .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, por mais que seja difícil ver no gráfico, é, de fato, um ponto de mínimo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!