Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 32 em torno do eixo y.

Passo 1

No Exercício 32 a região era limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo y e pela reta y = 6, pela imagem:

A região está entre as três linhas vermelhas na figura. Usaremos a equação do volume por invólucro cilíndrico, para fazermos a integral e a rotação dessa região:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como o enunciado nos pede para fazer uma rotação em torno do eixo y, não precisaremos deslocar o valor de x para ajustar o integrando na equação acima. Mas como a região está acima da curva   y = 4 x - 1 8 x 4 , nossa função será a subtração da reta horizontal por essa curva:

f x = 6 - 4 x - 1 8 x 4

f x = 6 - 4 x + 1 8 x 4

Os limites de integração serão dados pelo valor de x no eixo y, ou seja, x = 0 , e o valor máximo que x pode assumir na curva x = 2 .

E a integral do volume ficará:

V = 2 π ∫ 0 2 x 6 - 4 x + 1 8 x 4 d x

Passo 3

Reescrevendo a integral acima:

V = 2 π ∫ 0 2 6 x - 4 x 2 + 1 8 x 5 d x

Integrando termo a termo:

V = 2 π 3 x 2 - 4 3 x 3 + 1 48 x 6 2 0

Substituindo os limites de integração:

V = 16 π 3

Resposta

V = 16 π 3

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