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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 31a

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

31 – O triângulo com vértices ( 1, 1 ), ( 1, 2) e (2, 2) em torno: A – Do eixo x.

Passo 1

Plotamos o triângulo conforme os vértices mostrados, assim se analisarmos bem o gráfico teremos a função: y = x .

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo x.

x = y

E a altura deste triângulo é 1, assim teremos a função: y = x + 1 → x = y - 1

Assim é verificado para este método.

Utilizando a fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 1 2 y y - 1   d y

V = 2 π ∫ 1 2 y 2 - y   d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π y 3 3 - y 2 2 1 2

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 2 3 3 - 2 2 2 - 1 3 3 - 1 2 2  

Resolvendo:

2 π 8 3 - 4 2 - 1 3 + 1 2 = 2 π 7 3 - 3 2

Tirando o mínimo múltiplo comum e resolver as frações:

2 π 14 - 9 6 = 2 π 5 6 = 10 π 6 = 5 π 3 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

5 π 3   u . v .

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