Exercícios de Cascas Cilíndricas - Lista de Exercícios Resolvida

Considere a região delimitada pelo gráfico da função e pelo eixo , com .

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo .

Encontre o volume obtido pela rotação da placa limitada por , , e , em torno do eixo , sendo .

Seja a região compreendida entre os gráficos de e para , como mostra a figura abaixo:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno de .

Considere a região delimitada pela parábola e pela reta .

Considere o sólido obtido pela rotação da região ao redor da reta . Escreva uma integral que calcule o volume de .

Calcule o Volume de .

Seja a região situada entre as curvas , , e . Calcule o volume do sólido obtido fazendo girar a região em torno do eixo .

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Seja . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo .

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pela curva , e .

Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito num cone circular reto com raio de 3 m e de altura 5 m.

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo :

Encontre o volume obtido pela rotação da placa limitada por , , e , em torno do eixo , sendo .

Considere a região delimitada pela parábola e pela reta .

Esboce a região

Considere o sólido obtido pela rotação da região ao redor da reta . Escreva uma integral que calcule o volume de .

Calcule o Volume de .

13. Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo indicado:

a) eixo

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada

em torno da reta .

Seja a região situada entre as curvas , , e . Calcule o volume do sólido obtido fazendo girar a região em torno do eixo .

Seja . Considere a região ilimitada , entre o eixo , o gráfico de , a reta e a reta . Calcule, se possível, o volume obtido pela rotação de ao redor da reta .

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas abaixo:

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas abaixo:

Seja definida em e a região delimitada pelo gráfico da função e o eixo . Calcule o volume do sólido gerado ao se rotacionar a região ao redor do eixo .

Q03) Considere a região plana definida por:

Seja o sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo

1. Esboce abaixo a região plana
2. Utilizando o Método de Discos, determine uma integral que forneça o volume de
3. Utilizando o Método de Cascas, determine uma integral que forneça o volume de
4. Calcule o volume de pelo método que preferir.

Seja a região compreendida entre os gráficos de e para , como mostra a figura abaixo:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno de .

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno de .

Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.

Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.

Seja a região delimitada pelas curvas ,

Esboce a região

Determine a área da região

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação desta região ao redor da reta

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Fixado considere a região delimitada pelas curvas e . Considere também o sólido dado pela rotação de em torno do eixo . Se é a área de e é o volume de , então:

1. não depende de e é diretamente proporcional a
2. é diretamente proporcional a e é diretamente proporcional a
3. é diretamente proporcional a e é diretamente proporcional a
4. e são diretamente proporcionais a
5. e são diretamente proporcionais a

Considere a região plana definida por

Seja o sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo .

Letra b) Calcule o volume de pelo método que preferir.

Considere a região plana definida por:

(a.1) Esboce a região plana

(a.2) Escreva a área da região como uma integral na variável

(a.3) Escreva a área da região como uma soma de integrais na variável

Seja um sóldio de revolução obtido pela rotação da região em torno do eixo

(b.1) Utilizando o Método de Discos, escreva o volume de como uma integral na variável

(b.2) Utilizando o Método de Cascas Cilíndricas, escreva o volume de como uma soma de integrais na variável

(b.3) Calcule o volume de pelo método que preferir

5) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo da área finita delimitada pelas curvas e

Considere as funções e e a região plana descrita abaixo:

Seja o sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo

1. Esboce a região
2. Determine e (as expressões das funções inversas de e , respectivamente)
3. Utilizando o método que preferir, escreva o volume de como uma integral ou soma de integrais. Obs.: Neste item não é necessário calcular o volume

Considere a região plana definida por:

Seja o sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo

1. Esboce abaixo a região plana
2. Utilizando o Método dos Discos, determine uma soma de duas integrais que forneça o volume de . Obs: Nesse item não é necessário calcular a integral
3. Utilizando o Método de Cascas, determine uma integral que forneça o volume de . Obs: Nesse item não é necessário calcular a integral
4. Calcule o volume de pelo método que preferir

4. Encontre o valor da área delimitada pelo gráfico da função , o eixo e as retas verticais e .

3. Calcule o VOLUME do sólido obtido pela rotação ao redor do EIXO Y da região delimitada pelos gráficos de , e as retas verticais e .

Seja uma função contínua e a região compreendida entre o gráfico de e o eixo . Quando giramos a região em torno do eixo , obtemos um sólido de revolução cujo volume é dado por . Calcule esse volume no caso as funções indicadas abaixo

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo :

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo :

Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido obtido rotacionando a região em torno do eixo . Esboce o sólido obtido.

a) é limitada por baixo pelo eixo e acima por entre .

Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido obtido rotacionando a região em torno do eixo . Esboce o sólido obtido.

b) é limitada por baixo pelo eixo , a direita pela reta e acima por entre .

12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

e)

12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

f)

12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

g)

Encontre o volume do sólido que permanece depois que um furo circular de um raio é perfurado através do centro de uma esfera sólida de raio por:

b) Cascas cilindricas

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Deduza a fórmula do volume do toro obtido ao giramos o circulo em torno do eixo x

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo indicado:

reta

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo indicado:

reta

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas abaixo:

b)

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo x:

12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

d)

12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

h)

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas , e , em torno:

do eixo , usando o método da casca.

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

a. em torno do eixo x

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

b. em torno do eixo y.

Considere a região delimitada pelas curvas , ,

1. Esboce a região .
2. Escreva a integral, ou soma de integrais, que determina(m) o volume sólido obtido pela rotação da região acima ao redor do eixo .
3. Calcule o volume do sólido do item acima.

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

c.em torno do eixo y.

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

d., , ; em torno do eixo y.

Nos seguintes itens determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados.

a) O triangulo com vértices , e

em torno:

i)Da reta .

Seja a região delimitada pelas curvas e

1. Esboce a região
2. Escreva a integral, ou soma de integrais, que determina(m) o volume do sólido obtido pela rotação da região acima ao redor da reta
3. Calcule o volume da sólido do item acima.

Nos seguintes itens determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados.

b) A região delimitada por , , em torno

(i) da reta

(ii) da reta .

Seja o sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Qual é o volume desse sólido?

a)

b)

c)

d)

e)

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Considere a região limitada pelas curvas , pelo eixo e pela reta .

Faça um esboço da região .

Escreva uma única integral que expresse a área da região . Não precisa calcular a integral.

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo .

Seja a região plana definida por:

Considere o sólido de revolução obtido através da rotação da região em torno do eixo .

(a) Esboce a região

(b) Usando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral ou como uma soma de integrais.

(c) Calcule o volume de S.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo indicado:

reta

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta , da região

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo :

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, ao redor da reta x=1.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo x.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo x.

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas abaixo:

b)

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

Ache o volume gerado pela rotação em torno do eixo da placa definida por:

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas abaixo:

c)

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo :

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno do eixo y.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, ao redor da reta y=3.

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

, em torno da reta y=2.

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

Seja . Calcule .

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(c) ao longo da rela .

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(d) ; .

(4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:

(a) o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do hexágono regular inscrito no círculo ao redor do eixo .

(4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:

(c) o centroide da região .