Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 15
15. A afirmação “para todo real, , ” é falsa ou verdadeira? Justifique.
Passo 1
Bom! O método científico diz que a gente tem de avaliar todas as hipóteses possíveis antes de dizer que uma afirmação é falsa. Sendo assim, é isso que vamos fazer!
A questão nos pede para ver se pra todo , acontece a seguinte coisa...
Deste modo, nós temos que verificar as seguintes situações: quando e .
Passo 2
Vamos começar com o intervalo .
O problema nos forneceu a seguinte informação,
Ou seja, essa divisão tem como resultado um número positivo! Então vamos avaliar o sinal do numerador e denominador.
Para , temos que o denominador é maior que zero,
E também que o numerador é maior que zero
Como tanto o numerador quanto o denominador são maiores que zero, essa divisão é uma número positivo. E a inequação tá dizendo pra gente que o numerador é vezes maior do que o denominador, a afirmação é válida!
Mas não podemos dizer que é verdadeira. Então vamos avaliar o segundo caso para saber se chegamos a uma conclusão!
Passo 3
O raciocínio para é análogo ao anterior, ou seja, vamos avaliar o numerador e denominador da inequação!
Para , temos que o denominador será menor que zero (negativo),
Já o numerador será maior que zero (positivo),
Deste modo, temos um número positivo no numerador e outro negativo no denominador, ou seja, a nossa divisão é um número negativo. E a inequação tá dizendo pra gente que o numerador é vezes maior do que o denominador, ou seja, a afirmação é falsa!
Beleza? Vamos pra próxima!