Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em torno do eixo y e anéis são usados, devemos integrar em relação a y. No entanto, pode não ser possível expressar o integrando em termos de y . Em tais casos, o método da casca permite integrar em relação a x em vez de y. Os Exercícios 29 e 30 fornecem uma compreensão clara disso.

29 – Calcule o volume do sólido obtido com a rotação em tomo de cada eixo coordenado da região limitada por y = e y = , usando:

A – O método da casca.

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo x.

Assim é verificado para este método.

Utilizando a fórmula:

Inserindo na fórmula teremos:

Resolvendo a integral teremos:

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

Resolvendo:

Tirando o mínimo múltiplo comum e resolver as frações:

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo que significa unidade de volume.

Para achar em relação ao eixo y utilizaremos a função e os limites de integração inseridos no gráfico do enunciado, assim:

Resolvendo a multiplicação na integral, por método da distributiva:

Resolvendo a integral:

Substituindo os limites de integração: