Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x^2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x^2 e y^2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y^2 = x é denotada por R3. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.

16. O mesmo que o exercício 15, mas os elementos retangulares são perpendiculares ao eixo de revolução.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos igual a questão 15, mas com elementos retangulares perpendiculares ao eixo de revolução que no caso é o eixo x.

A região R2 é a seguinte:

Pode se ter uma ideia do que o enunciado quis dizer com elemento retangular nas figuras 7 e 9 no capítulo 6, seção 2 do livro.

O enunciado pede que os elementos retangulares sejam perpendiculares ao eixo x de rotação, para satisfazer isso a melhor opção para usarmos é o método dos anéis circulares, então nosso anel circular estaria na vertical e a espessura do anel é dx, então temos que:

d V = π ( R 2 - r 2 ) ⋅ d x

Onde R é o raio maior do anel e r é o raio menor.

Então como o d V depende de d x precisamos achar R e r como funções da forma f ( x ) .

Assim:

r = x 2         R = x

Logo:

V = π ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 1 na região R2 limitada.

Passo 2

Agora resolvendo a integral.

V = π ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 d x

= π ∫ 0 1 ( x - x 4 ) d x

= π ∫ 0 1 x   d x - ∫ 0 1 x 4   d x

= π x 2 2 0 1 - x 5 5 0 1

= π 1 2 1 - 0 - 1 5 1 - 0

= π 1 2 - 1 5 = 3 π 10

Resposta

V = 3 10 π = 0,3 π

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