Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x^2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x^2 e y^2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y^2 = x é denotada por R3. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.

15. R2 gira em torno do eixo x; os elementos retangulares são paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Região R2:

Pode se ter uma ideia do que o enunciado quis dizer com elemento retangular nas figuras 7 e 9 no capítulo 6, seção 2 do livro.

O enunciado pede que os elementos retangulares sejam paralelos ao eixo x de rotação, implica que teremos que usar o método das cascas cilíndricas, então nossa casca cilíndrica estaria na horizontal e a espessura da casca cilíndrica é dy, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d y

Então como o d V depende de d y precisamos achar r e h em termos de y.

Assim:

r = y         h = y - y 2

Logo:

V = 2 π ∫ 0 1 y ⋅ ( y - y 2 ) d y

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 1 na região R2 limitada.

Passo 2

Agora resolvendo a integral.

V = 2 π ∫ 0 1 y ⋅ ( y - y 2 ) d y

= 2 π ∫ 0 1 ( y 3 2 - y 3 ) d y

= 2 π ∫ 0 1 y 3 2   d y - ∫ 0 1 y 3   d y

= 2 π 2 5 y 5 2 0 1 - y 4 4 0 1

= 2 π 2 5 1 - 0 - 1 4 1 - 0

= 2 π 2 5 - 1 4

= 2 π 3 20 = 3 π 10

Resposta

V = 3 10 π = 0,3 π

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