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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 33

Encontre funções potenciais para os campos nos Exercícios 33 e 34.

33. F = 2 i + 2 y + z j + y + 1 k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos assumir que existe uma função escalar f tal que F = ∇ f , então

∂ f ∂ x = 2     ( 1 )

∂ f ∂ y = 2 y + z     ( 2 )

∂ f ∂ z = y + 1     ( 3 )

Da equação (2), nós temos que

∂ f ∂ y = 2 y + z → f = ∫ 2 y + z   d y → f = y 2 + y z + C 1 ( x , z )

Onde C 1 ( x , z ) não depende de y . Usando esse resultado na equação (3), temos que

∂ f ∂ z = y + 1 → ∂ ∂ z y 2 + y z + C 1 x , z = y + 1

Desenvolvendo os termos

y + ∂ C 1 ∂ z = y + 1 → ∂ C 1 ∂ z = 1

Com isso,

C 1 x , z = z + C 2 x

Passo 2

Temos que C 2 é uma função da variável x , portanto, temos que

f x , y , z = y 2 + y z + z + C 2 ( x )

Finalmente, considerando este resultado na equação (1), nós temos que

∂ f ∂ x = 2 → ∂ ∂ x y 2 + y z + z + C 2 x = 2

Desenvolvendo os termos

∂ C 2 ∂ x = 2 → C 2 = 2 x + C 3

Onde C 3 é uma constante real. Tendo C 3 = 0 , nós temos que

f x , y , z = y 2 + y z + z + 2 x

Com isso, temos uma função potencial para F .

Resposta

f x , y , z = y 2 + y z + z + 2 x

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