Um balão esférico é inflado de tal forma que seu volume cresce a uma taxa de 3   c m 3 / m i n . Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1   c m ?

Passo 1

Já que balão é esférico, para relacionar o raio com o volume, podemos simplesmente escrever a fórmula do volume da esfera:

V = 4 3   π R 3

Agora partiu derivar, pra saber como as taxas de variação desses caras se relacionam:

d V d t = d d t 4 3   π R 3 = 4 3 π d R 3 d t

Pela Regra da Cadeia:

d V d t       =     4 3 π R 3 '         d R d t

d V d t       = 4 3 π 3 R 2       d R d t

d V d t       = 4 π R 2   d R d t

Maneirooo, chegamos numa expressão que relaciona d V d t e d R d t

Passo 2

Como ele falou que volume cresce a uma taxa de 3   c m 3 / m i n , então d V d t = 3 .

Pra sabermos a rapidez com que o diâmetro cresce, vamos ter que descobrir como a taxa do diâmetro ( D ) se relaciona com a do raio:

D = 2 R

d D d t = d 2 R d t                 ⇒             d D d t   = 2 d R d t

d R d t = 1 2 d D d t

E além disso vamos usar que R = 1 c m

Passo 3

Agora substituindo esses dados na expressão que encontramos fica assim:

d V d t       = 4 π R 2   d R d t

3   = 4 π     1 2   1 2 d D d t

d D d t = 3 2 π     c m / m i n  

Resposta

3 2 π     c m / m i n

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