Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 12
Os lados de um triângulo equilátero crescem à taxa de .
- Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiveram de comprimento?
- Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem de comprimento?
Passo 1
Vamos para mais uma questão de taxa de variação! Na letra (a) queremos a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem de comprimento.. Pra início de conversa, vamos achar essa área olhando pro triângulo equilátero abaixo:
Como todo bom triângulo, a área será:
Por ser um triângulo equilátero, temos:
E por trigonometria, tiramos que:
Igualando esses senos:
A área de um triângulo equilátera pode ser expressa por:
Passo 2
Show, agora se pensamos que tanto quanto variam com o tempo, conforme o enunciado, vamos poder ver a fórmula que encontramos como:
Assim, a derivada em relação ao tempo tem que ser feita usando a regra da cadeia!
O enunciado diz que, em determinado instante, os lados do triângulo crescem à taxa de e que nesse instante eles medem . Unindo essas informações, temos:
Passo 3
Na letra (b) queremos a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem de comprimento. Seja o perímetro de um triângulo equilátero . Temos:
Como é fixa a taxa de crescimento dos lados, de , basta substituir:
Resposta
- ;
- .