Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 15
Um balão esférico é esvaziado de tal forma que seu raio decresce a uma taxa constante de . Com que taxa o ar estará sendo removido quando o raio for de ?
Passo 1
Já que balão é esférico, para relacionar o raio com o volume, podemos simplesmente escrever a fórmula do volume da esfera:
Agora partiu derivar, pra saber como as taxas de variação desses caras se relacionam:
Pela Regra da Cadeia:
Maneirooo, chegamos numa expressão que relaciona e
Passo 2
Como ele falou que o raio DECRESCE a uma taxa de, então . Lembrando de atentar pro sinal negativo por estar decrescendo.
E além disso vamos usar que
Agora substituindo esses dados na expressão que encontramos fica assim:
A questão quer a taxa em ar estará sendo removido, que é justamente o quanto o volume está diminuindo. Então achamos nossa resposta.
PS: se liga que achamos um o que faz muito sentido porque o balão está sendo esvaziado, ou seja, volume está diminuído.