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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 29

(d y)/(d x) = (x + y)/(x - y)

Passo 1

Vamos trabalhar com nossa função de uma forma diferente, visto que tentar achar um fator integrante para ela não seria fácil. Podem testar se não acreditarem em mim hahaha.

Mas seguindo, vamos partir para o lado de realizar substituições e tentar separar nossas variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever nossa equação como

(d y)/(d x) = (1 + y // x)/(1 - y // x)

E agora vamos fazer u = y // x -> y = u x -> y ' = u ' x + u

Com essa substituição temos que

u^' x + u = (1 + u)/(1 - u)

E consequentemente

u^' x = (1 + u)/(1 - u) - u = (1 + u^2)/(1 - u)

E finalmente temos um problema de variáveis separáveis na qual

(1 - u)/(1 + u^2) d u = (d x)/(x)

Passo 3

Agora vamos integrar nossa equação, mas primeiro vamos arrumar algumas coisinhas

(1 - u)/(1 + u^2) = (1)/(1 + u^2) - (u)/(1 + u^2)

Assim temos

int (d u)/(1 + u^2) - int (u d u)/(1 + u^2) = int (d x)/(x)

= arctan u - (1)/(2) ln (1 + u^2) = ln x + C

Voltando as variáveis

arctan (y)/(x) - (1)/(2) ln ((x^2 + y^2)/(x^2)) - ln x = C

= arctan (y)/(x) - ln (x^2 + y^2)^((1)/(2)) + ln x - ln x = C

Resposta

varphi (x , y) = arctan (y)/(x) - ln (x^2 + y^2)^((1)/(2)) + C = 0

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