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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 39

Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y ' ' = f t , y ' , a substituição v = y ' , v ' = y ' ' leva a uma equação de primeira ordem da forma v ' = f ( t , v ) . Se essa equação puder ser resolvida para v , então y pode ser obtida integrando-se d y d t = v . Ao resolver a equação de primeira ordem para v obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar y . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada.

2 ⋅ t 2 ⋅ y ' ' + y ' 3 = 2 ⋅ t ⋅ y ' ,       t > 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando v = y ' e v ' = y ' ' , temos que nossa equação fica como

2 ⋅ t 2 ⋅ v ' + v 3 = 2 ⋅ t ⋅ v

Podemos reescrever a equação como

2 ⋅ t 2 ⋅ v ' ⋅ v - 3 + 1 = 2 ⋅ t ⋅ v - 2

Precisamos fazer mais uma substituição: temos que chamar z = v - 2 , assim z ' = - 2 ⋅ v - 3 ⋅ v ' . Assim

- t 2 ⋅ z ' + 1 = 2 ⋅ t ⋅ z

t 2 ⋅ z ' + 2 ⋅ t ⋅ z = 1

d d t t 2 ⋅ z = 1

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que

t 2 ⋅ z = t + k 1

z = 1 t + k 1 t 2

Utilizando a transformação novamente, temos que

d y d t = y ' = v = ± 1 z = ± 1 1 t + k 1 t 2

y = ± 2 3 ⋅ t - 2 ⋅ k 1 ⋅ t + c 1 + k 2

Sendo essas nossas soluções para a equação.

Resposta

y = ± 2 3 ⋅ t - 2 ⋅ k 1 ⋅ t + c 1 + k 2

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