Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y ' ' = f t , y ' , a substituição v = y ' , v ' = y ' ' leva a uma equação de primeira ordem da forma v ' = f ( t , v ) . Se essa equação puder ser resolvida para v , então y pode ser obtida integrando-se d y d t = v . Ao resolver a equação de primeira ordem para v obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar y . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada. 2 ⋅ t 2 ⋅ y ' ' + y ' 3 = 2 ⋅ t ⋅ y ' ,t0

y = ± 2 3 ⋅ t - 2 ⋅ k 1 ⋅ t + c 1 + k 2

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 39

Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma , a substituição , leva a uma equação de primeira ordem da forma . Se essa equação puder ser resolvida para , então pode ser obtida integrando-se . Ao resolver a equação de primeira ordem para obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada.

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para e então encontrar para .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando e , temos que nossa equação fica como

Podemos reescrever a equação como

Precisamos fazer mais uma substituição: temos que chamar , assim . Assim

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que

Utilizando a transformação novamente, temos que

Sendo essas nossas soluções para a equação.

Resposta

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Em cada um dos problemas de 48 a 51, resolva o problema de valor inicial dado usando os métodos dos problemas de 36 a 47. y ' ⋅ y ' ' = 2 , y 0 = 1 , y ' 0 = 2

Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y ' ' = f t , y ' , a substituição v = y ' , v ' = y ' ' leva a uma equação de primeira ordem da forma v ' =

x y^' + y - y^2 e^(2 x) = 0 , y (1) = 2

Equações sem a Variável Independente. Considere equações de segunda ordem da forma y ' ' = f y , y ' , na qual a variável independente t não aparece explicitamente. Se definirmos v = y ' , obteremos d