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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 15

(e^x + 1) (d y)/(d x) = y - y e^x

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Este é um típico problema que podemos partir direto para determinar a solução, visto que é um problema de separação de variáveis.

Então podemos reescrever nossa equação como

(d y)/(y) = (1 - e^x)/(1 + e^x) d x

Assim integrando em ambos os lados, temos

ln y = int (1 - e^x)/(1 + e^x) d x

Para integrarmos isso, vamos fazer o seguinte. Tome que 1 + e^x - 2 e^x = 1 - e^x . Desta forma temos que

(1 - e^x)/(1 + e^x) = (1 + e^x - 2 e^x)/(1 + e^x) = 1 - (2 e^x)/(1 + e^x)

Agora vamos fazer e^x = u -> e^x d x = d u o que nos da

ln y = int d x - int (2 d u)/(1 + u) = x - 2 ln (1 + e^x) + c

Assim nos resta

y = C e^x (1 + e^x)^(- 2)

Resposta

y = C e^x (1 + e^x)^(- 2)

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