dy/dx = -(3x^2*y + y^2) / (2x^3 + 3xy)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma uma equação diferencial de primeira ordem, que não é separável. Então, vamos verificar primeiro se a nossa EDO é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M d x + N d y = 0 é exata, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x , e verificamos se elas são iguais. Assim,

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

No nosso caso, M = 3 x 2 y + y 2 e N = 2 x 3 + 3 x y . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos reescrever nossa equação como

3 x 2 y + y 2 d x + 2 x 3 + 3 x y d y = 0

Assim aplicando a relação do passo 1, vamos calcular ∂ M ∂ y :

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 y + y 2 = 3 x 2 + 2 y

Agora, calculando ∂ N ∂ x , temos:

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x 2 x 3 + 3 x y = 6 x 2 + 3 y

Como ∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x , a equação não é exata. Então, vamos precisar resolvê-la pelo método do fator integrante.

Passo 3

Para achar o nosso fator integrante, vamos calcular:

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x M = - 3 x 2 + y y 3 x 2 + y = - 1 y

Assim temos que nosso fator integrante é dado por

μ y = exp ⁡ ∫ 1 y d y = exp ⁡ ln ⁡ y = y

Multiplicando esse fator pela nossa EDO, temos:

3 x 2 y 2 + y 3 d x + 2 x 3 y + 3 x y 2 d y = 0

Agora a nossa equação se tornou exata, porque ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x . Parece mágica, mas não é rs. Então, vamos resolver.

Passo 4

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução. A solução de uma equação exata é dada implicitamente por ϕ x , y . Mas, como encontramos essa função?

O primeiro passo é integrar M ( x ,   y ) em relação a x :

ϕ = ∫ 3 x 2 y 2 + y 3 d x = x 3 y 2 + x y 3 + g ( y )

g ( y ) é uma função apenas de y , que aparece por nós estamos integrando uma função de duas variáveis em relação apenas a x . Nosso próximo passo é encontrar g ( y ) . Para isso, vamos derivar o resultado obtido em relação a y :

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temos que

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y 2 + x y 3 + g y

∂ ϕ ∂ y = 2 x 3 y + 3 x y 2 + g ' y

Igualando esse resultado com N x ,   y = ∂ ϕ ∂ y , temos:

2 x 3 y + 3 x y 2 + g ' y = 2 x 3 y + 3 x y 2

Logo,

g ' y = 0

E portanto, g y = C , porque a integral de zero é uma constante.

Agora, podemos finalmente escrever nossa solução ϕ x , y :

ϕ x , y = x 3 y 2 + x y 3 = C

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

x 3 y 2 + x y 3 = C

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