Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 31
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma uma equação diferencial de primeira ordem, que não é separável. Então, vamos verificar primeiro se a nossa EDO é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.
Para verificar se nossa função dada por é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e verificamos se elas são iguais. Assim,
No nosso caso, e . Vamos lá!
Passo 2
Primeiro vamos reescrever nossa equação como
Assim aplicando a relação do passo 1, vamos calcular :
Agora, calculando , temos:
Como , a equação não é exata. Então, vamos precisar resolvê-la pelo método do fator integrante.
Passo 3
Para achar o nosso fator integrante, vamos calcular:
Assim temos que nosso fator integrante é dado por
Multiplicando esse fator pela nossa EDO, temos:
Agora a nossa equação se tornou exata, porque . Parece mágica, mas não é rs. Então, vamos resolver.
Passo 4
Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução. A solução de uma equação exata é dada implicitamente por . Mas, como encontramos essa função?
O primeiro passo é integrar em relação a :
é uma função apenas de , que aparece por nós estamos integrando uma função de duas variáveis em relação apenas a . Nosso próximo passo é encontrar . Para isso, vamos derivar o resultado obtido em relação a :
Tome que se existe uma função que da origem a nossa equação diferencial, temos que
Igualando esse resultado com , temos:
Logo,
E portanto, , porque a integral de zero é uma constante.
Agora, podemos finalmente escrever nossa solução :
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉