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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 24

2 s e n y s e n x cos x + cos y s e n^2 x (d y)/(d x) = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

(2 s e n y s e n x cos x) d x - (cos y s e n^2 x) d y = 0

Agora vamos aplicar a relação do passo anterior, onde

(del)/(del x) (cos y s e n^2 x) = 2 cos y cos x s e n y = (del)/(del y) ( 2 s e n y s e n x cos x )

Na qual pode se ver que nossa função é exata.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = 2 s e n y s e n x cos x

E

(del varphi)/(del y) = cos y s e n^2 x

Assim temos que

varphi = int (2 s e n y s e n x cos x) d x = s e n y s e n^2 x + C ( y )

Perceba que essa integral a gente sabe fazer de cor, pois a gente acabou de fazer a derivada. Entretanto se você quiser fazer, basta tomar a substituição s e n x = u .

Agora se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar cos y s e n^2 x como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (s e n y s e n^2 x + C ( y )) = cos y s e n^2 x + C^' (y) = cos y s e n^2 x

Desta forma temos que C^' (y) = 0 -> C (y) = C e nossa solução é

varphi (x , y) = s e n y s e n^2 x + C = 0

Resposta

s e n y s e n^2 x + C = 0

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