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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 21

(d y)/(d x) + (2 y^2 + 6 x y - 4)/(3 x^2 + 4 x y + 3 y^2) = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

(2 y^2 + 6 x y - 4) d x + (3 x^2 + 4 x y + 3 y^2) d y = 0

Assim aplicando a relação do passo 1, temos

(del)/(del x) (3 x^2 + 4 x y + 3 y^2) - (del)/(del y) (2 y^2 + 6 x y - 4) = 6 x + 4 y - (4 y + 6 x) = 0

O que mostra que nossa equação é exata.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = 2 y^2 + 6 x y - 4

E

(del varphi)/(del y) = 3 x^2 + 4 x y + 3 y^2

Assim temos que

varphi = int (2 y^2 + 6 x y - 4) d x = 2 x y^2 + 3 x^2 y - 4 x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar 3 x^2 + 4 x y + 3 y^2 como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (2 x y^2 + 3 x^2 y - 4 x + C ( y )) = 4 x y + 3 x^2 + C^' (y) = 3 x^2 + 4 x y + 3 y^2

Desta forma temos que C^' (y) = 3 y^2 -> C (y) = y^3 + C e nossa solução é

varphi (x , y) = 2 x y^2 + 3 x^2 y - 4 x + y^3 + C = 0

Resposta

e^x + e^(- y) = c

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x + y + x + 2 y d y d x = 0 , y 2 = 3
(x^2 y + x y - y) + (x^2 y - 2 x^2) (d y)/(d x) = 0
(d y)/(d x) = - (2 x y + 1)/(x^2 + 2 y)
(d y)/(d x) = (e^(- x) cos y - e^(2 y) cos x)/(- e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x)
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. e )( x + y )d x + ( y - x ) d y