x \* y' + y - y^2 e^(2x) = 0, y(1) = 2

Passo 1

Devemos recordar do nosso problema 27 da seção 2.4 que nos mostra que está é uma equação de Bernoulli. Vamos tentar resolver nosso problema a partir de alguma substituição. Talvez essa seja a maneira mais fácil, então bora ...

Passo 2

Vamos tomar u = 1 y → u ' = - y ' / y 2 , então temos que y ' = - u ' y 2 = - u ' / u 2 . Desta forma nossa equação se transforma em

- x u ' u 2 + 1 u - e 2 x u 2 = 0 → - x u ' u + 1 - e 2 x u = 0

Então temos

x u ' - u = - e 2 x

Simples não?

Vamos dividir tudo por x 2 , assim

u ' x - u x 2 = d d x u x = - e 2 x x 2

E agora integrando em ambos os lados

u x = ∫ - e 2 x x 2 d x + C

E assim vamos tomar a nossa integral de 1 a x

1 y = - x ∫ 1 x e 2 x x 2 + C x

Passo 3

Vamos agora resolver o problema de valor inicial y 1 = 2

1 2 = - 1 ∫ 1 1 e 2 1 + C

A integral de 1 à 1 é nula

Assim temos que

C = 1 / 2

Logo

1 y = - x ∫ 1 x e 2 x x 2 + x / 2

Resposta

1 y = - x ∫ 1 x e 2 x x 2 + x / 2

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