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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 32

x y^' + y - y^2 e^(2 x) = 0 , y (1) = 2

Passo 1

Devemos recordar do nosso problema 27 da seção 2.4 que nos mostra que está é uma equação de Bernoulli. Vamos tentar resolver nosso problema a partir de alguma substituição. Talvez essa seja a maneira mais fácil, então bora ...

Passo 2

Vamos tomar u = (1)/(y) -> u^' = - y^' // y^2 , então temos que y^' = - u^' y^2 = - u^' // u^2 . Desta forma nossa equação se transforma em

- (x u^')/(u^2) + (1)/(u) - (e^(2 x))/(u^2) = 0 -> - (x u^')/(u) + 1 - (e^(2 x))/(u) = 0

Então temos

x u^' - u = - e^(2 x)

Simples não?

Vamos dividir tudo por x^2 , assim

(u^')/(x) - (u)/(x^2) = (d)/(d x) ((u)/(x)) = - (e^(2 x))/(x^2)

E agora integrando em ambos os lados

(u)/(x) = int - (e^(2 x))/(x^2) d x + C

E assim vamos tomar a nossa integral de 1 a x

(1)/(y) = - x int_1^x (e^(2 x))/(x^2) + C x

Passo 3

Vamos agora resolver o problema de valor inicial y (1) = 2

(1)/(2) = - 1 int_1^1 (e^2)/(1) + C

A integral de 1 à 1 é nula

Assim temos que

C = 1 // 2

Logo

(1)/(y) = - x int_1^x (e^(2 x))/(x^2) + x // 2

Resposta

(1)/(y) = - x int_1^x (e^(2 x))/(x^2) + x // 2

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