Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y'' = f(t, y') , a substituição v = y' , v' = y'' leva a uma equação de primeira ordem da forma v' = f(t, v) . Se essa equação puder ser resolvida para v , então y pode ser obtida integrando-se dy / dt = v . Ao resolver a equação de primeira ordem para v obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar y . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada.

t ⋅ y'' + y' = 1, t > 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando v = y ' e v ' = y ' ' , temos que nossa equação fica como

t ⋅ v ' + v = 1

Notamos que é possível escrever a equação como

t ⋅ v ' = 1

d d t t ⋅ v = 1

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que

t ⋅ v = t + k 1

Utilizando a transformação novamente, temos que

d y d t = y ' = v = 1 + k 1 t

Integrando de ambos os lados novamente, chegamos que

y = t + k 1 ⋅ ln ⁡ t + k 2

Sendo essa nossa solução para equação.

Resposta

y = t + k 1 ⋅ ln ⁡ t + k 2

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