Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 30

(3 y^2 + 2 x y) - (2 x y + x^2) (d y)/(d x) = 0

Passo 1

Vamos trabalhar com nossa função de uma forma diferente, visto que tentar achar um fator integrante para ela não seria fácil. Podem testar se não acreditarem em mim hahaha.

Mas seguindo, vamos partir para o lado de realizar substituições e tentar separar nossas variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever nossa equação como

(d y)/(d x) = ((3 y^2 + 2 x y))/((2 x y + x^2)) = ((3 ((y)/(x))^2 + 2 ((y)/(x))))/((2 ((y)/(x)) + 1))

E agora vamos fazer u = y // x -> y = u x -> y ' = u ' x + u

Com essa substituição temos que

u^' x + u = (3 u^2 + 2 u)/(2 u + 1)

E consequentemente

u^' x = (3 u^2 + 2 u)/(2 u + 1) - u = (3 u^2 + 2 u - 2 u^2 - u)/(2 u + 1) = (u^2 + u)/(2 u + 1)

E finalmente temos um problema de variáveis separáveis na qual

(2 u + 1)/(u^2 + u) d u = (d x)/(x)

Passo 3

Agora vamos integrar nossa equação, mas primeiro vamos observar algumas coisinhas

Vamos lambrar que

int (f^' (x))/(f (x)) d x = ln f (x)

Agora observe que (u^2 + u)^' = 2 u + 1 , ou seja

int (2 u + 1)/(u^2 + u) d u = ln (u^2 + u) = ln x + c

Assim nos resta

u^2 + u = C x

(y^2)/(x^3) + (y)/(x^2) = C

Resposta

(y^2)/(x^3) + (y)/(x^2) = C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.28. sec ⁡ x . d y = x . c o t gy . d x
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.20. d y d x = 2 y + 3 4 x + 5 2
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.31. y - y x 2 . d y d x = y + 1 2
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.25. s e c 2 x . d y + c o s s e cy . d x = 0
Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento p