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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.3 - Ex. 18

Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f ( x ) e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. DÊ então um valor de δ > 0   tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

f x = x ,     L = 1 / 2 ,     x 0 = 1 / 4 ,     ϵ = 0,1

Passo 1

Vamos ver quais os valores que x precisa assumir para que a desigualdade f x - L < ϵ seja satisfeita:

f x - L = x - ( 1 / 2 )

Logo,

x - ( 1 / 2 ) < 0,1

Passo 2

Temos a seguinte propriedade do módulo:

a < b → - b < a < b

Logo no nosso caso

x - ( 1 / 2 ) < 0,1 → - 0,1 < x - ( 1 / 2 ) < 0,1

Portanto,

- 0,1 + 1 / 2 < x - 1 2 + 1 / 2 < 0,01 + 1 / 2 → 0,4 < x < 0,6

0 , 16 < x < 0,36

Passo 3

Agora vamos ver o valor de δ que satisfaz x - x 0 < δ . Antes de mais nada no nosso caso temos x 0 = 1 / 4 , logo

x - 1 / 4 < δ

Pela propriedade do módulo que eu mostrei acima, temos que

- δ < x - 1 / 4 < δ

Logo,

- δ + 1 4 < x - 1 4 + 1 4 < δ + 1 4 → - δ + 1 4 < x < δ + 1 4

Passo 4

Agora qual o intervalo dos valores de x que satisfaz f x - L < ϵ ? Isso mesmo, o intervalo descoberto no passo 2 ( 0,16 < x < 0,36 ) !

Então o intervalo do passo 3 tem que coincidir com o do passo 2, ou seja

- δ + 1 4 = 0,16 → δ = 0 , 0 9

Ou

δ + 1 4 = 0 , 36 → 0,11

Ficaremos sempre com o menor valor para δ !

Resposta

δ = 0 , 0 9

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