Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

12 )   lim x → 2 ⁡ x ² + 3 x + 4 x ³ + 1

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 2, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f x = x ² + 3 x + 4 x ³ + 1

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

Sendo assim:

l i m x → 2 x ² + 3 x + 4 x ³ + 1 = l i m x → 2 x ² + 3 x + 4 l i m x → 2 x ³ + 1

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) = L

l i m x → 2 x ² + 3 x + 4 l i m x → 2 x ³ + 1 = l i m x → 2   ( x ² + 3 x + 4 ) l i m x → 2   ( x 3 + 1 )

Usando o Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → 2 x ² + 3 x + 4 l i m x → 2 x ³ + 1 = l i m x → 2   ( x ² + 3 x + 4 ) l i m x → 2   ( x 3 + 1 ) = l i m x → 2   x ² + l i m x → 2   3 x + 4 l i m x → 2   x 3 + l i m x → 2   1

De acordo com o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n  

l i m x → 2   x = 2  

l i m x → 2   x ² = 2 ² = 4

l i m x → 2   x ³ = 2 ³ = 8

Com o Teorema 2:

l i m x → 2   1 = 1

Usando o Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → 2   3 x + 4 = 3.2 + 4 = 10

Concluindo:

l i m x → 2   x ² + l i m x → 2   3 x + 4 l i m x → 2   x 3 + l i m x → 2   1 = 4 + 10 8 + 1 = 1 4 9 = 14 3

Resposta

lim x → 2 ⁡ x ² + 3 x + 4 x ³ + 1 = 14 3

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