Cada um dos exercícios 25-34 fornece uma fórmula para uma função y = f(x) . Em cada caso, determine f^(-1)(x) e identifique o domínio e a imagem de f^(-1) . Para conferir, mostre que f^{-1}(x) = f^{-1}(f(x)) = x .

28. f(x) = 1 / 2 * x - 7 / 2

Passo 1

Para fazermos a inversa da função, assim como discutido na seção 6 do George, devemos escrever uma função x = f ( y ) , isto é, isolar a variável x na função (supondo que x seja a variável) e em seguida trocarmos as variáveis para escrevermos a inversa na forma convencional, que é y = f ( x ) , tranquilo? Se liga!

Passo 2

Como a função que nos foi dada é y =   1 2 x - 7 2 , escrevendo x = f ( y ) , temos:

1 2 x = y + 7 2

∴ x = 2 y + 7

Agora que encontramos a função x = f ( y ) , só devemos inverter as variáveis para escrevermos a função na forma convencional, que é y = f ( x ) . Sendo assim, a inversa da f será:

y = 2 x + 7

∴ f - 1 x = 2 x + 7

Passo 3

Quanto ao domínio e imagem, galera, temos que seja D e R o domínio e a imagem de uma função f , respectivamente, isso implica que o domínio da f - 1 passará a ser R e a imagem da f - 1 passará a ser D . Em outras palavras, as coisas só se invertem! Sabendo disso, temos que:

Domínio de f x = ( - ∞ , ∞ )

Imagem de f x = ( - ∞ , ∞ )

Domínio de f - 1 x = - ∞ , ∞

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 4

Agora que encontramos tudo que precisava, só para a finalização, vamos provar que, de fato, a inversa que encontramos é, de fato, inversa!

f f - 1 x → Inversa dentro da função;

f - 1 f x → Função dentro da inversa.

f f - 1 x = 1 2 2 x + 7 - 7 2 = x

f - 1 f x = 2 1 2 x - 7 2 + 7 = x  

Dessa forma, conferimos que, de fato, a inversa que encontramos está correta!

Resposta

f - 1 x = 2 x + 7

Domínio de f - 1 x = - ∞ , ∞

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

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