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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 27

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

Passo 1

Perceba que vamos precisar utilizar uma substituição.

Vamos tomar u =   e 2 - 1 ⟹   d u = e s d s   ⟹ d s =   d u u + 1 e e s = u + 1

∫ d s e s - 1   = ∫ d u u u + 1  

Passo 2

Então, podemos aplicar as frações parciais para resolver a integral. Como o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador, que tem grau zero. Como o denominador já esta decomposto, resta então aplicar o método.  

Então,

1 u u + 1 =     A u + B 1 + u  

Passo 3

Calculando o mmc, ficamos com

1 u 1 + u =     A     1 + u + B u   u 1 + u    

Passo 4

Como os denominadores são iguais,

A     u + 1 + B u   =   1  

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

u A + B + A   =   1

Passo 5

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

A = 1 e B =   - 1

Passo 6

Sendo assim,

∫ d u u 1 + u   = ∫   [     1 u - 1 1 + u ]   d u = ∫ 1 u d u   - ∫ 1 u + 1   d u

Resolvendo as integrais (usando a tabela)

  • ∫ 1 u d u =   ln ⁡ u
  • ∫ 1 u + 1   d u =   l n ⁡ | u + 1 |

Passo 7

Substituindo,

∫ d u u 1 + u   = ∫ 1 u d u   - ∫ 1 u + 1   d u = ln ⁡ u -   ln ⁡ u + 1 + C      

Passo 8

Retornando à nossa substituição,

∫ d s e s - 1   = ln ⁡ u -   ln ⁡ u + 1 + C = ln ⁡   e 2 - 1 - ln ⁡   e 2 - 1 + C   =   ln ⁡ e 2 - 1 e s + C = ln ⁡ 1 - e - s + C  

Resposta

∫ d s e s - 1   =     ln ⁡ 1 - e - s + C      

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