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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 10

Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular

10.

( x - 2 ) 2 y ″ + 5 ( x - 2 ) y ' + 8 y   =   0  

Passo 1

Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

E quando nosso enunciado nos fala sobre “ponto singular” ele está querendo dizer os pontos de x onde

P x = 0

Quaisquer outros pontos são chamados de ordinários. Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = ( x - 2 ) r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r ( x - 2 ) r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) ( x - 2 ) r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

( x - 2 ) 2 y ″ + 5 ( x - 2 ) y ' + 8 y   =   0  

( x - 2 ) 2 r ( r - 1 ) ( x - 2 ) r - 2 + 5 ( x - 2 )   r x - 2 r - 1 + 8 ( x - 1 ) r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por ( x - 2 ) 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) ( x - 2 ) r + 5 r ( x - 2 ) r + 8 ( x - 2 ) r = 0

x - 2 r ( r r - 1 + 5 r + 8 ) = 0

Logo ou nossa função ( x - 2 ) r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 + 5 r + 8 = 0

r 2 + 4 r + 8 = 0

Fazendo bhaskara podemos descobrir que as soluções do problema são

r 1 = - 4 + 4 i 2 → - 2 + 2 i

r 2 = - 4 - 4 i 2 → - 2 - 2 i

Passo 3

Quando temos raízes complexas as coisas mudam um pouco de figura. Podemos expressar nossa resposta como

y = c 1 x λ + i μ + c 2 x λ - i μ

O que nos deixa com uma resposta em termos complexos. OU podemos usar propriedades de exponencial complexa e transformar isso em senos e cossenos e assim nossa resposta seria no formato

y = c 1 x λ cos ⁡ μ ln ⁡ x + c 2 x λ sen ⁡ μ ln ⁡ x

Os dois casos estão corretos. Logo podemos dizer nossa solução é

y = c 1 x - 2 - 2 i + c 2 x   - 2 + 2 i

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = c 1 x - 2 - 2 i + c 2 x   - 2 + 2 i

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