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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 6,determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja osProblemas de 1a 6 da Seção 8.3. Compare os resultados dos vários métodos entre si e com a solução exata (se disponível).

(a) Use o método de previsão ecorreção de quarta ordem comh=0,1. Use a fórmula de correção uma vez em cada passo.

(b) Use o método de Adam-Moulton de quarta ordem com h = 0,1.

(c) Use o método inverso de diferenciação de quarta ordem com h = 0,1.

5. y ' = y 2 + 2 t y 3 + t 2 ,     y 0 = 0,5

Passo 1

a) Vamos começar usando a notação f n = f ( t n , y n ) .

Desse modo, a fórmula do método preditor vai ficar assim...

y n + 1 = y n + h 24 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

Já no caso da fórmula de correção com f n + 1 = f ( t n + 1 , y n + 1 ) ... Temos que:

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

Usando os valores iniciais gerados pelo método de R u n g e - K u t t a . No caso peguemos os valores da figura abaixo do código que fizemos na S e ç ã o   3 para essa mesma E D O com passo h = 0.1 ;

Ou seja, pegando a seguinte tabela abaixo...

Para o método preditor com t n = 0.40 ...

y n + 1 = y n + h 24 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

Sendo que...

f n = ( 0.3 ) 2 + 2 ( 0.3 ) ( 0.542105 ) 3 + ( 0.3 ) 2 = 0.134389

f n - 1 = ( 0.2 ) 2 + 2 ( 0.2 ) ( 0.524138 ) 3 + ( 0.2 ) 2 = 0.08212

f n - 2 = ( 0.1 ) 2 + 2 ( 0.1 ) ( 0.510169 ) 3 + ( 0.2 ) 2 = 0.03685

f n - 3 = ( 0.0 ) 2 + 2 ( 0.0 ) ( 0.510169 ) 3 + ( 0.0 ) 2 = 0

Obtemos que...

y n + 1 = 0.542105 + 0.1 24 55 ⋅ 0.134389 - 59 ⋅ 0.08212 + 37 ⋅ 0.03685 - 9 ⋅ 0.0

y n + 1 = 0.56428532

Passo 2

No caso do método corretor, temos que para t n = 0.4 ...

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

Com...

f n + 1 = ( 0.4 ) 2 + 2 ( 0.4 ) ( 0.542105 ) 3 + ( 0.4 ) 2 = 0.187784

f n = ( 0.3 ) 2 + 2 ( 0.3 ) ( 0.542105 ) 3 + ( 0.3 ) 2 = 0.134389

f n - 1 = ( 0.2 ) 2 + 2 ( 0.2 ) ( 0.524138 ) 3 + ( 0.2 ) 2 = 0.08212

f n - 2 = ( 0.1 ) 2 + 2 ( 0.1 ) ( 0.510169 ) 3 + ( 0.2 ) 2 = 0.03685

Chegamos ao seguinte resultado:

y n + 1 = 0.542105 + 0.1 24 9 ⋅ 0.187784 + 19 ⋅ 0.134389 - 5 ⋅ 0.08212 + 0.03685

y n + 1 = 0.56428577

Seguindo o mesmo procedimento para outros t n = 0.5 , com n = 5 .... Chegamos até a seguinte tabela abaixo...

Passo 3

b) Presta atenção! O método de Adam-Moulton tem a seguinte cara abaixo...

Com f n + 1 = f ( t n + 1 , y n + 1 ) , temos que...

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

Até aí tá bem parecido com o método corretor. O diferencial é que...

f n + 1 = y n + 1 2 + 2 t n + 1 y n + 1 3 + t n + 1 2

Uma vez que a E D O é linear, nós vamos fazer...

y n + 1 = y n + h 24 9 y n + 1 2 + 2 t n + 1 y n + 1 3 + t n + 1 2 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

E com isso, para t n = 0.4 ... Sabendo dos valores abaixo...

y n = 0.542105

h = 0.1

t n + 1 = 0.5

f n = ( 0.3 ) 2 + 2 ( 0.3 ) ( 0.542105 ) 3 + ( 0.3 ) 2 = 0.134389

f n - 1 = ( 0.2 ) 2 + 2 ( 0.2 ) ( 0.524138 ) 3 + ( 0.2 ) 2 = 0.08212

f n - 2 = ( 0.1 ) 2 + 2 ( 0.1 ) ( 0.510169 ) 3 + ( 0.2 ) 2 = 0.03685

Alcançamos o resultado para y ( 0.4 ) :

y n + 1 = y n + h 24 9 y n + 1 2 + 2 t n + 1 y n + 1 3 + t n + 1 2 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

y n + 1 = 0.56428578

Seguindo o mesmo procedimento para t n = 0.5 ...Obtemos a seguinte tabela abaixo

Passo 4

c) No caso do método inverso de diferenciação de quarta ordem com h   =   0.1 ... Bora fazer;

y n + 1 = 1 25 48 y n - 36 y n - 1 + 16 y n - 2 - 3 y n - 3 + 12 h f n + 1

Só que neste método, o diferencial assim como no método anterior, é que...

f n + 1 = y n + 1 2 + 2 t n + 1 y n + 1 3 + t n + 1 2

O que nos faz ficar com...

y n + 1 = 1 25 48 y n - 36 y n - 1 + 16 y n - 2 - 3 y n - 3 + 12 h y n + 1 2 + 2 t n + 1 y n + 1 3 + t n + 1 2

E como já sabemos todos os valores de cada variável aí, fazendo as iterações, para t n = 0.4 e t n = 0.5 ... Obtemos a tabela abaixo:

Passo 5

Quanto à solução exata da E D O , na seção 3 descobrimos que ela é igual à...

y = 3 + t ² 6 - t

E em t = 0.4 , ela possui o seguinte valor...

y = 3 + ( 0.4 ) ² 6 - 0.4

y = 0.56428577

Que é bem próximo dos valores que nós descobrimos para esse t n !

Resposta

a)

b)

c)

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