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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,g é uma função contínua arbitrária.

y ' ' + 4 y = g ( t )        

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' + 4 y = g ( t )        

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' + 4 y = g ( t )              

Pode ser reescrita como:

λ 2 + 4 = 0

Onde:

λ = ± 2 i

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = cos ⁡ 2 t e y 2 t = sen ⁡ 2 t , formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2 = 2

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t .

y 1 t u 1 t = - cos ⁡ 2 t ∫ sen ⁡ 2 t . g ( t ) 2 d t

E u 2 por:

y 2 t u 2 t = s en ⁡ 2 t ∫ co s ⁡ 2 t . g ( t ) 2 d t

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = - cos ⁡ 2 t ∫ sen ⁡ 2 t . g t 2 d t + sen ⁡ 2 t ∫ cos ⁡ 2 t . g ( t ) 2 d t

Solução completa:

y t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t ∫ sen ⁡ 2 t . g t 2 d t + sen ⁡ 2 t ∫ cos ⁡ 2 t . g ( t ) 2 d t

Resposta

y t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t ∫ sen ⁡ 2 t . g t 2 d t + sen ⁡ 2 t ∫ cos ⁡ 2 t . g ( t ) 2 d t

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