Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 14:

(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.

(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y 1 e y 2 (a menos que a série termine antes).

(c) Calculando o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , mostre que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.

(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

8.

x y ' ' + y ' + x y = 0                                           x 0 = 1

Passo 1

(a) Fala galera!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial:

x y ' ' + y ' + x y = 0

Queremos encontrar uma solução em forma de série de potências em torno de x 0 = 1 , e encontrar a relação de recorrência.

Uma equação diferencial pode ser escrita da seguinte maneira:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Se analisarmos a equação dada, podemos perceber que:

P x = x

Q x = 1

R x = x

Logo, x = 1 é um ponto ordinário.

Passo 2

Vamos supor que y seja a seguinte série de potencia

y = a 0 + a 1 x - 1 + a 2 x - 1 2 + a 3 x - 1 3 + … + a n x - 1 n + … = ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n

e vamos supor que a série converge em algum intervalo | x - 1 | < ρ . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

y ' = a 1 + 2 a 2 x - 1 + 3 a 3 x - 1 2 + … + n a n x - 1 n - 1 + … = ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n - 1

Diferenciando mais uma vez, temos:

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x - 1 + … + n n - 1 a n x - 1 n - 2 + … = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2

Passo 3

Agora, vamos substituir os resultados encontrados ( y ' ' ,   y ' e   y ) na equação diferencial fornecida, assim temos:

x y ' ' + y ' + x y = 0

x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

Para combinar as três séries, precisamos colocar x dentro do somatório, para isso podemos fazer da seguinte maneira:

x + 0 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n - 1 + x + 0 ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

x - 1 + 1 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n - 1 + x - 1 + 1 ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

x - 1 + 1 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n - 1 + x - 1 + 1 ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

x - 1 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n - 1 + x - 1 ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 1 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x - 1 n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

Passo 4

Para que possamos juntar os somatórios, vamos colocar os termos que depende de x iguais. Assim, para o primeiro e o terceiro somatório podemos mudar n por n + 1 . O segundo somatório podemos mudar n por n + 2 . O quarto somatório podemos mudar n por n - 1 . Assim temos:

∑ n + 1 = 2 ∞ n + 1 n + 1 - 1 a n + 1 x - 1 n + 1 - 1 + ∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x - 1 n + 2 - 2 + ∑ n + 1 = 1 ∞ n + 1 a n + 1 x - 1 n + 1 - 1 + ∑ n - 1 = 0 ∞ a n - 1 x - 1 n - 1 + 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x - 1 n + ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x - 1 n + ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n + 1 x - 1 n + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n + ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n = 0

Para que possamos juntar os somatórios, Precisamos que eles comecem com o mesmo termo. Então, podemos tirar os termos onde n = 0 no segundo, terceiro e quarto somatório. Assim temos:

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x - 1 n + 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x - 1 n + a 1 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 a n + 1 x - 1 n + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n + a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n x - 1 n = 0

Agora, podemos juntar os somatórios da seguinte maneira:

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x - 1 n + n + 2 n + 1 a n + 2 x - 1 n + n + 1 a n + 1 x - 1 n + a n - 1 x - 1 n + a n x - 1 n + 2 a 2 + a 1 + a 0

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 + n + 2 n + 1 a n + 2 + n + 1 a n + 1 + a n - 1 + a n x - 1 n + 2 a 2 + a 1 + a 0

∑ n = 1 ∞ n + 1 2 a n + 1 + n + 2 n + 1 a n + 2 + a n - 1 + a n x - 1 n + 2 a 2 + a 1 + a 0

Passo 5

Para que a equação acima seja satisfeita para todo x , é preciso que o coeficiente de cada potência de x seja nulo. Logo, podemos concluir que:

2 a 2 + a 1 + a 0 = 0    

a 2 = - a 1 - a 0 2                           n = 0

n + 1 2 a n + 1 + n + 2 n + 1 a n + 2 + a n - 1 + a n = 0                         n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   …

Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:

a n + 2 = - n + 1 2 a n + 1 + a n + a n - 1 n + 2 n + 1                                 n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   …

Passo 6

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para n = 1 , depois para n = 2 , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para n = 0

a 2 = - a 1 - a 0 2 = - a 1 2 - a 0 2

Para n = 1

a 3 = - 4 a 2 + a 1 + a 0 6 = - 2 3 - a 1 2 - a 0 2 - a 1 6 - a 0 6 = a 1 6 + a 0 6

Para n = 2

a 4 = - 9 a 3 + a 2 + a 1 12 = - 3 4 a 1 6 + a 0 6 - 1 12 - a 1 2 - a 0 2 - a 1 12 = - a 1 6 - a 0 12

Para n = 3

a 5 = - 16 a 4 + a 3 + a 2 20 = - 4 5 - a 1 6 - a 0 12 - 1 20 a 1 6 + a 0 6 - 1 20 - a 1 2 - a 0 2 = 3 a 1 20 + a 0 12

Para n = 4

a 6 = - 25 a 5 + a 4 + a 3 30 = - 5 6 3 a 1 20 + a 0 12 - 1 30 - a 1 6 - a 0 12 - 1 30 a 1 6 + a 0 6 = - a 1 8 - 13 a 0 180

Passo 7

Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em y . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.

y = ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n

y = a 0 + a 1 x - 1 + a 2 x - 1 2 + a 3 x - 1 3 + … + a n x - 1 n + …

y = a 0 + a 1 x - 1 + - a 1 2 - a 0 2 x - 1 2 + a 1 6 + a 0 6 x - 1 3 + - a 1 6 - a 0 12 x - 1 4 + 3 a 1 20 + a 0 12 x - 1 5 + - a 1 8 - 13 a 0 180 x - 1 6 + …

y = a 0 + a 1 x - 1 - a 0 2 x - 1 2 - a 1 2 x - 1 2 + a 0 6 x - 1 3 + a 1 6 x - 1 3 - a 0 12 x - 1 4 - a 1 6 x - 1 4 + a 0 12 x - 1 5 + 3 a 1 20 x - 1 5 - 13 a 0 180 x - 1 6 - a 1 8 x - 1 6 + …

y = a 0 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 6 x - 1 3 - 1 12 x - 1 4 + 1 12 x - 1 5 - 13 180 x - 1 6 + … + a 1 x - 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 6 x - 1 3 - 1 6 x - 1 4 + 3 20 x - 1 5 - 1 8 x - 1 6 + …

Temos então que a solução y = a 0 y 1 + a 1 y 2 da equação diferencial sobre o ponto  x 0 = 1 é:

y 1 x = a 0 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 12 + x - 1 5 12 - 13 x - 1 6 180 + …

y 2 x = a 1 x - 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 6 + 3 x - 1 5 20 - x - 1 6 8 + …

Passo 8

(b) Temos que os primeiros quatros termos em cada uma das duas soluções são:

Para a solução y 1 x , temos:

y 1 x = 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 12

Para a solução y 2 x , temos:

y 2 x = x - 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 6

Passo 9

(c) Agora, vamos calcular o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , afim de mostrar que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções. Lembre-se de que o Wronskiano das duas funções y 1 x e y 2 x é,

W y 1 x , y 2 x ( x 0 ) = y 1 x 0 y 2 x 0 y 1 ' x 0 y 2 ' x 0

Temos que:

y 1 x = 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 12 + x - 1 5 12 - 13 x - 1 6 180 + …

E sua derivada se torna:

y 1 ' x = - x - 1 + x - 1 2 2 - x - 1 3 3 + 5 x - 1 4 12 - 13 x - 1 7 30 + …

No ponto x 0 = 1 , as condições podem ser tomadas como:

y 1 1 = 1 - 1 - 1 2 2 + 1 - 1 3 6 - 1 - 1 4 12 + 1 - 1 5 12 - 13 1 - 1 6 180 + … = 1

y 1 ' 1 = - 1 - 1 + 1 - 1 2 2 - 1 - 1 3 3 + 5 1 - 1 4 12 - 13 1 - 1 7 30 + … = 0

Temos também que:

y 2 x = x - 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 6 + 3 x - 1 5 20 - x - 1 6 8 + …

E sua derivada se torna:

y 2 ' x = 1 - x - 1 + x - 1 2 2 - 2 x - 1 3 3 + 3 x - 1 4 4 - 3 x - 1 5 4 + …

No ponto x 0 = 1 , as condições podem ser tomadas como:

y 2 1 = 1 - 1 - 1 - 1 2 2 + 1 - 1 3 6 - 1 - 1 4 6 + 3 1 - 1 5 20 - 1 - 1 6 8 + … = 0

y 2 ' 1 = 1 - 1 - 1 + 1 - 1 2 2 - 2 1 - 1 3 3 + 3 1 - 1 4 4 - 3 1 - 1 5 4 + … = 1

Substituindo as funções temos:

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1 0 0 1 = 1

Então

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções  y 1 x e y 2 x são linearmente independentes. Portanto,  y 1 x e y 2 x formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 10

(d) Queremos encontrar o termo geral em cada solução. Temos que as duas soluções da equação diferencial são:

y 1 x = 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 12 + x - 1 5 12 - 13 x - 1 6 180 + …

y 2 x = x - 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 6 + 3 x - 1 5 20 - x - 1 6 8 + …

Claramente, observa-se que os coeficientes nas duas soluções acima não formam nenhuma série. A relação de recorrência é:

a n + 2 = - n + 1 2 a n + 1 + a n + a n - 1 n + 2 n + 1

Em geral, quando a relação de recorrência tem mais de dois termos a n + 2 ,   a n + 1 ,   a n   e   a n - 1 , a determinação de uma fórmula  a n em termos de  a 0 e a 1 será complicada pode ser até impossível. Portanto, o termo geral em cada solução não é possível.

Resposta

(a)

n + 1 2 a n + 1 + n + 2 n + 1 a n + 2 + a n - 1 + a n = 0                         n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   …

a n + 2 = - n + 1 2 a n + 1 + a n + a n - 1 n + 2 n + 1                                 n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   …

(b)

y 1 x = 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 12

y 2 x = x - 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 6 - x - 1 4 6

(c)

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

(d) O termo geral em cada solução não é possível.

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