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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.

(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025.

(b) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,0125.

12. y ' = y 2 + 2 t y 3 + t 2 ,     y 0 = 0,5

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r aperfeiçoado.

Olha só! A fórmula aperfeiçoada de E u l e r para a equação diferencial do nosso problema será...

y n + 1 = y n + h 2 y n 2 + 2 t n y n 3 + t n 2 + h 2 K n 2 + 2 t n + 1 K n 3 + t n + 1 2

Sendo que K n é igual à...

K n = y n + h y n 2 + 2 t n y n 3 + t n 2

Na prática, o que estamos fazendo é uma iteração dentro de outra iteração. Voltando ao que interessa, não podemos esquecer que...

t n = t 0 + n h

Com t 0 = 0 ...

Desse modo, nossa expressão geral y n + 1 vai ser...

y n + 1 = y n + h 2 y n 2 + 2 n h y n 3 + n 2 h 2 + h 2 K n 2 + 2 n + 1 h K n 3 + ( n + 1 ) 2 h 2

Sendo que...

K n = y n + h y n 2 + 2 t n y n 3 + t n 2

K n = y n + h y n 2 + 2 n h y n 3 + n 2 h 2

Agora vamos dar um jeito de resolver esse problema computacionalmente.

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo...

P a s s o   1 : D e f i n i r   a   f u n ç ã o   y n + 1  

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   h   e   o   n ú m e r o   d e   p a s s o s   n    

P a s s o   3 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   d e   2.0 h   f a ç a  

P a s s o   4 :  

K n = y n + h y n 2 + 2 n h y n 3 + n 2 h 2

y n + 1 = y n + h 2 y n 2 + 2 n h y n 3 + n 2 h 2 + h 2 K n 2 + 2 n + 1 h K n 3 + ( n + 1 ) 2 h 2  

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   5 : E s c r e v a   y n + 1

P a s s o   6 : F i m

Passo 3

a) Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n , é possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a C ...

Usemos o seguinte código abaixo, feito com todo carinho do mundo...

É importante ressaltar que colocamos um condicional em nosso código, pra aparecer apenas os valores que procurávamos. Fizemos isso, colocando um " i f " para que toda vez que o resto da divisão de i por 20 desse zero, o programa printasse o valor de y em j .

Assim... Compilando o código, num total de iterações igual à...

T A M = 2 h = 2 0.025 = 80

Obtemos os seguintes valores da tabela abaixo...

Passo 4

b) Já nessa letra, só basta alterar duas coisas no código confeccionado. Primeiro, o valor de h   que vai ser igual a 0 . 0125 .

E depois o tamanho T A M de iterações, que vai valer...

T A M = 2 0 . 0125 = 160

Desse modo, compilando o código, já com essas duas alterações, obtemos que...

E chegamos até a seguinte tabela...

Pronto! Exercício finalizado!

Resposta

a)

b)

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