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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 15 a 18:

  1. Encontre os cinco primeiros termos não nulos na solução do problema de valor inicial dado.
  2. Faça gráficos das aproximações da solução com quatro e cinco termos no mesmo conjunto de eixos.
  3. Estime, a partir dos gráficos no item (b), o intervalo no qual a aproximação com quatro termos é razoavelmente precisa.

y ' ' - x y ' - y = 0 ,     y 0 = 2 ,     y ' 0 = 1 ;

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar a forma de série de potências para encontrarmos a solução da nossa EDO. Vamos primeiro supor que a solução seja algo do tipo:

y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n

Usando as informações dadas no enunciado, vamos derivar duas vezes essa expressão para encontrarmos y ' e y ' ' e depois de encontrarmos a solução, vamos aplicar as condições iniciais para obtermos os quatro primeiros termos não nulos da solução.

Passo 2

  1. Bom, como sugerido pelo próprio enunciado, vamos usar o resultado do problema 2 para facilitar nossas vidas rsrs. Temos que o problema 2 nos dá

    2. y 1 x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n n !       e       y 2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n ⋅ n ! x 2 n + 1 2 n + 1 ! .

    Nossa solução geral é então y = a 0 + a 1 ⋅ x + a 2 ⋅ x 2 + … + a n ⋅ x n e y ' = a 1 + 2 ⋅ a 2 ⋅ x + … + n ⋅ a n ⋅ x n - 1 . Se colocarmos y 0 e y ' 0 , teremos que

    y 0 = a 0 = 2

    y ' 0 = a 1 = 1

    e temos também que y = a 0 ⋅ y 1 + a 1 ⋅ y 2 , assim vamos ter que:

    y = 2 ⋅ y 1 + y 2

    Expandindo nossa equação nos dá

    y x = 2 + x + x 2 + 1 3 x 3 + 1 4 x 4 + 1 15 x 5 + 1 24 x 6 + …

    Nos dando que o quarto e quinto termo do polinômio é aproximadamente

    p 4 = 2 + x + x 2 + 1 3 x 3

    p 5 = 2 + x + x 2 + 1 3 x 3 + 1 4 x 4

    Passo 3

  2. Plotando essas duas curvas nos dá o seguinte gráfico.

    3. Passo 4

  3. Observando o gráfico, conseguimos ver que entre - 0,7 < x < 0,7 a aproximação com apenas quatro termos é um tanto quanto precisa por coincidir bem com a de cinco termos.

Resposta

  1. y x = 2 + x + x 2 + 1 3 x 3 + 1 4 x 4 + 1 15 x 5 + 1 24 x 6

c)   - 0,7 < x < 0,7

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