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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 24

Nos problemas 23 e 24, use o método de séries de potências para resolver a equação não homogênea

y ' ' - 4 x y ' - 4 y = e x

Passo 1

Vamos lááá

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO em torno de x = 0

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' ' - 4 x y ' - 4 y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ 4 n c n . x n - ∑ n = 0 ∞ 4 c n . x n + 1

E aí na primeira somatória, temos k = n - 2 e na segunda e terceira temos k = n :

y ' ' - 4 x y ' - 4 y = ∑ n = 2 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ 4 k c k . x k - ∑ k = 0 ∞ 4 c k . x k

Eita, vamos dar uma arrumada nisso aí

Passo 2

Onde paramos mesmo?

y ' ' - 4 x y ' - 4 y = ∑ n = 2 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ 4 k c k . x k - ∑ k = 0 ∞ 4 c k . x k

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo isso tudo aí, temos

y ' ' - 4 x y ' - 4 y = ∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 1 . c k + 2 - 4 k + 1 c k x k + 2 c 2 - 4 c 0 = e x

Mas e x = ∑ k = 1 ∞ 1 k ! x k , então

∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 1 . c k + 2 - 4 k + 1 c k x k + 2 c 2 - 4 c 0 = ∑ k = 1 ∞ 1 k ! x k

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

2 c 2 - 4 c 0 = 1

k + 2 k + 1 . c k + 2 - 4 k + 1 c k = 1 k !

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = 1 2 + 2 c 0

c k + 2 = 1 k + 2 ! + 4 k + 2 c k ,   k = 1,2 , 3 …

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = 1 2 + 2 c 0

c k + 2 = 1 k + 2 ! + 4 k + 2 c k ,   k = 1,2 , 3 …

Mantendo c 0 e c 1 arbitrários, encontramos

y = c 0 . 1 + 2 x 2 + 2 x 4 + 4 3 x 6 + … + c 1 x + 4 3 x 3 + 16 15 x 5 + … + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + 13 4 ! x 4 + …

Resposta

y = c 0 . 1 + 2 x 2 + 2 x 4 + 4 3 x 6 + … + c 1 x + 4 3 x 3 + 16 15 x 5 + … + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 + 13 4 ! x 4 + …

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