Exercícios de Solução de EDO – Ponto Ordinário - Lista de Exercícios Resolvida

Determine a solução do problema de valor inicial

Com

1. Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:

Determinar o domínio de definição da solução .

2. Calcular

Nos problema de 1 a 14, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatro primeiros termos em cada uma das suas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

Considere a equação diferencial

Mostre que é um ponto ordinário para a equação.

Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada em , usando a fórmula de Taylor para a exponencial:

Encontre uma solução em série para a equação

Considere a equação diferencial:

Demonstre que o ponto é um ponto ordinário da equação.

Considere a equação diferencial , cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências

1. Ache os primeiros 7 termos da solução com condição inicial , .
2. Determinea solução geral da equação diferencial.
3. Determine todas as condições iniciais , , tais que a solução correspondente é uma função par (isto é, , para todo ).

Considere a equação diferencial e:

1. Mostre que, para qualquer solução em série de potências, .
2. Mostre que e que .
3. Achar os 10 primeiros termos da solução com condição inicial , .
4. Determine a expressão geral da solução encontrada no item c).

Considere a equação diferencial , cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências

(a) Ache os primeiros termos da solução com condição inicial

(b) Determine uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Considere a equação diferencial

Com e

Cuja solução buscaremos na forma de uma série de potencias

(a) Determine a relação de recorrência entre os coeficientes.

(b) Escreva os seis primeiros termos.

Determine a solução geral da equação diferencial em série de potências centrada em e dê o seu raio de convergência

Determinar uma solução em série para o problema de valor inicial

E determine o raio de convergência dessa solução.

Considere a equação diferencial

1. Mostre que o ponto é um ponto ordinário da equação diferencial e dê uma cota inferior para o raio de convergência da solução em séries de potências em torno de .
2. Encontre a solução geral da equação diferencial.
3. Qual é o raio de convergência da solução que satisfaz e ?

1. Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:

Determinar o domínio de definição da solução .

2. Calcular

Suponha que e são soluções da EDO

Você pode dizer se o ponto é um ponto ordinário ou singular? Justifique!

Resolva a equação diferencial

através de uma série de potências em torno do ponto . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

Ache a solução geral, dada em séries de potências centradas em , da equação diferencial:

3. Prove que a série de potências é solução da equação:

Determine os três primeiros termos de uma segunda solução linearmente independente.

5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto nos casos

Determine uma cota inferior para o raio de convergência das séries obtidas como solução de

Ao redor dos pontos e .

3. Prove que a série de potências é solução da equação:

OBS: No enunciado original, a série dada contém erro de digitação.

6. Determine a solução do problema de valor inicial

Com

5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto nos casos

Buscaremos uma solução em série no formato

para a equação diferencial

1. Encontre a solução do problema de valor inicial com as condições iniciais e .
2. Determine o raio de convergência da solução do item anterior.

Considere a equação diferencial:

Se é uma solução da equação, determine as equações lineares que relacionam os primeiros coeficientes ,, e

Considere a equação diferencial

a)Mostre que é um ponto ordinário desta equação.

b)Dado que a fórmula de recorrência da equação em (a) é:

Determine a solução satisfazendo as condições inicias e . Determine o termo geral dessa solução.

c) Determine o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em (b)

1. Mostre que é um ponto ordinário para a equação
2. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
3. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
4. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que e

Considere a seguinte equação diferencial

Em que é uma constante e cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências.

1. Encontre a relação de recorrência entre os coeficientes.
2. Considere a solução geral na forma Determine de forma que uma das soluções seja um polinômio de grau 5

1. Mostre que é um ponto ordinário para a equação
2. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
3. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
4. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que e

1. Mostre que é um ponto ordinário para a equação
2. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
3. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
4. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que e

Considere a EDO linear de segunda ordem

1. Determine o raio mínimo das series de potências das soluções da EDO em torno do ponto ordinário .
2. Determine a solução geral da equação, em torno do ponto , usando séries de potências. Encontre a relação de recorrência e duas soluções linearmente independentes em séries de potencias, indicando o termo geral de cada solução.

Supondo que , calcule os quatro primeiros termos da solução na origem da equação:

Resolva a equação diferencial

através de uma série de potências em torno do ponto ordinário . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

Considere o seguinte problema de valor inicial:

• Mostre que é um ponto ordinário.
• Obtenha os primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto .

Considere o seguinte problema de valor inicial:

• Mostre que é um ponto ordinário.
• Obtenha os primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto .

Considere o seguinte problema de valor inicial:

• Mostre que é um ponto ordinário.
• Obtenha os primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto .

Considere o seguinte problema de valor inicial:

• Mostre que é um ponto ordinário.
• Obtenha os primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto .

Considere a equação

1. Mostre que é ponto ordinário dessa equação.
2. Determine a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série dessa equação em torno do ponto .
3. Determine os primeiros quatro termos não nulos da solução que satisfaz e .

Resolva a equação diferencial

Através de uma série de potências em torno do ponto . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

Considere a equação diferencial

Determine a relação de recorrência da solução por série de potências de (série centrada em ) da equação dada.

Considere a equação diferencial

1. Prove que o ponto é um ponto ordinário da equação .
2. Achar, na forma de uma série de potências, a solução de que satisfaz e . Calcular o raio de convergência dessa solução.

Considere a equação

Mostre que é um ponto ordinário dessa equação.

Determine a relação de recorrência da solução em séries dessa equação em torno desse ponto.

Determine uma cota inferior para o raio de convergência da série encontrada em .

Mostre que é um ponto ordinário para a equação

Prove que e que a fórmula de recorrência da equação em é

para .

A partir da relação de recorrência determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.

Identifique as duas soluções em séries de potências em torno de , linearmente independentes e determine um raio mínimo de convergência. Justifique.

Encontre a solução com os dados iniciais e .

Considere a seguinte EDO:

1. Mostre que é um ponto ordinário dessa equação.
2. Determine a relação de recorrência da solução em séries dessa equação em torno deste ponto.
3. Determine uma cota inferior para o raio de convergência da série encontrada em (b).

Buscaremos uma solução em série no formato

para a equação diferencial

1. Encontre a solução geral da EDO acima.
2. Encontre a solução do PVI com e . Encontre a soma da série obtida.

Sendo um ponto ordinário da EDO , sabemos que a mesma admite uma solução em série da forma

(a) (1,5pt) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes de ;

(b) (1,5pt) Encontre os coeficientes e escreva a solução em sua forma geral;

Questão 3:

Considere resolver o seguinte problema de valor inicial:

1. Justifique o uso de série de potências em torno de .
2. Mostre qual é o raio de convergência das séries.
3. Encontre relação de recorrência entre os coeficientes das séries.

Considere a equação diferencial

Como é um ponto ordinário para a equação, encontre a solução em séries de potências dado que e . (Obs. Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.)

Considere o problema de valor inicial abaixo:

Considere ainda a expansão em série de potências da solução:

Determine .

Considere o problema de valor inicial abaixo:

Considere ainda a expansão em série de potências da solução:

Determine .

Defina ponto ordinário e justifique que é um ponto ordinário para a equação

Determine a fórmula de recorrência da solução em série de potências da equação em torno de ;

Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação ;

Encontre a solução geral por série de potências da equação .

7) Qual das séries abaixo representa uma solução para

Com as condições iniciais: e ?

8) Qual das séries abaixo representa uma solução para

Com as condições iniciais: e ?

A expansão em série de potências em torno do da solução de:

com as condições iniciais e , é:

Determine e .

Qual das séries abaixo representa uma solução para:

com condições iniciais e .

3 – Encontre a fórmula de recorrência e os primeiros termos da solução em série de potências do PVI:

Considere a equação diferencial de Tchebycheff

Sabendo que é a solução geral da equação por série em torno do ponto .

1. Determine uma cota inferior para o raio de convergência das soluções em série e linearmente independentes da equação em torno de .
2. Determine a relação de recorrência. Justifique.
3. Determine a solução geral da equação de Tchebycheff. Justifique.

Questão 5 - Use séries para resolver o PVI abaixo. Descreva os primeiros coeficientes da série e a lei de recorrência que relaciona os coeficientes da série.

Considere a equação diferencial ordinária

a) Obtenha a solução geral da equação utilizando o método das séries de potências ou de Frobenius.

b) Ache a solução do PVI dado pela equação com e .

c) Considere agora outro PVI, dado desta vez pela equação com e . Resolva este PVI no Mathematica (ou no Wolfram) e faça o gráfico de sua solução. Em seguida, determine os valores aproximados de para os quais a solução que você obteve neste item é tal que .

Encontre uma solução na forma de série de Maclaurin para o PVI

Seja n a solução encontrada acima. Encontre uma função tal que..

1. Considere a equação diferencial . Ache a expressão geral de uma solução em forma de série de potências:

Supondo que .

2. Considere a equação diferencial . Ache a solução em forma de série de potências:

Supondo que .

Considere a equação diferencial

Mostre que é ponto ordinário.

Determine a fórmula de recorrência da solução em série da equação.

Determine os quatro primeiros termos não nulos de cada uma das soluções linearmente independentes.

Note que a equação diferencial possui um ponto ordinário em . Neste caso, determine a relação de recorrência para a solução em série da equação em torno deste ponto.

Marque a alternativa correta.

Escolha uma opção:

a)

b)

c)

d)

e)

Uma massa de desloca de para baixo uma mola. partindo da posição de equilíbrio, damos ao sistema massa-mola uma velocidade inicial de para baixo. O meio tem constante de amortecimento . Encontre a função que descreve a posição da massa em função do tempo

Considere a equação diferencial

Mostre que é um ponto ordinário para a equação.

Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada em , usando a fórmula de Taylor para a exponencial:

1- Considere a equação linear homogênea de segunda ordem

a) Verifique que é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação.

b) Encontre a solução geral da equação dada utilizando série de potências ou série de Frobenius em torno de .

Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir nas proximidades de

Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir com

Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir

Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir

Encontre a relação de recorrência dos coeficientes de uma solução em série de potências em torno de da equação diferencial .

Considere que busca encontrar a solução de uma equação no formato:

Com representando uma constante. Encontre uma solução geral real para a equação diferencial parcial. Essa equação é conhecida como equação de onda.

A seguinte equação, chamada equação de Hermite, tem papel importante na teoria da mecânica quântica

1. Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada en .
2. Mostre que a solução geral está definida para todo .
3. Calcule , onde é a solução satisfazendo . (Sugestão: use que .)

Considere a seguinte equação diferencial ordinária:

1. Seja

Uma solução da EDO definida numa vizinhança do ponto . Encontre a relação de recorrência satisfeita pelos coeficientes de

2. Resolva o problema de valor inicial associado à equação com condições iniciais e

Questão 4 (Justifique todas as suas respostas):

Determine a solução geral da EDO

Em volta do ponto .

Questão 3: Considere a seguinte EDO.

1. Mostre que é ponto ordinário desta equação.
2. Determine a relação de relação de recorrência das séries desta equação em torno deste ponto.
3. Determine os primeiros 3 coeficientes não nulos da solução que satisfaz e .

Considere o seguinte problema de valores iniciais: