Série de Potência

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No momento você está na página do assunto Série de Potência e, logicamente, é sobre isso que vamos falar aqui. Bora lá?

O que são séries de potência?

As séries de potência são a junção de dois mundos: o mundo das potências e o mundo das séries.

As séries nada mais são do que somas de termos. Por exemplo, quero somar todos os números pares: Note que podemos representar esses números pares por , quando vale meu número par é , quando vale meu número par é e assim por diante, então para somar todos os números pares eu posso fazer a soma de , com variando de até infinito, porque temos infinitos números pares, correto?

E com isso temos uma série desse jeito aqui:

Esse é o que chamamos de termo geral da série.

Agora vamos pensar nas potências. As potências são termos nos quais temos um número elevado a um expoente. Por exemplo; , , , ... são potências de .

Agora, quando dizemos que temos uma série de potência, estamos dizendo que temos um somatório de termos que são potências, ou seja, o termo geral da minha série é uma potência. Dá uma olhada aqui.

Nós temos uma série infinita, pois estamos somando infinitos termos. Além disso, podemos afirmar que é uma série de potência porque o termo geral é do tipo , são potências de . Deu pra entender?

Esse representado no termo geral é um coeficiente constante qualquer, que é determinado de acordo com o valor de :

Agora vamos expandir essa série aí:

Consegue perceber que o que temos é justamente um polinômio de e infinito?

Olha esse polinômio aqui:

Podemos escrever ele em série de potência, desse jeito aqui:

Note que os coeficientes são: , e , e que os demais coeficientes com maior que são nulos.

Show de bola, não é? Então já vimos o que são séries de potência e que podemos até pegar uma função polinomial em e escrever ela em série de potência, como fizemos aí em cima.

Mas sabe qual é o mais legal? É que podemos pegar funções sem ser polinomiais, funções trigonométricas, função exponencial, etc., e escrever elas também em série de potência 😱

Ficou curioso, não é mesmo?

É isso e muito mais que você vai aprender aqui no assunto Série de Potência. Para você não ficar perdido no seu estudo nós separamos todo o conteúdo de série de potência que você precisa saber para arrebentar na sua prova em capítulos e tópicos. Essa divisão incrível está no Raio-X aqui em baixo 👇🏽. Aproveita essa oportunidade para ter um estudo direcionado, rápido e descontraído. 😉