Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 15
Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.
Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea (). Lembrando que a EDO homogênea é .
Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ().
E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, .
Passo 2
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, passa a ser , passa a ser e é o termo independente.
.
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Importante!!!
- Se o resultado do , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
- Se o resultado do , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
- Se o resultado do , teremos duas raízes complexas, e a solução será:
Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
e
Passo 3
Como , a solução da EDO homogênea será:
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Onde,
Que satisfaz a equação
Substituiremos na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.
Para manter a igualdade,
Logo,
Portanto, a solução particular da EDO será
Passo 5
A solução da EDO será
Passo 6
Aplicando a condição inicial
Temos então o seguinte sistema de equações,
Resolvendo o sistema de equações encontramos
Logo,