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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 1 a 14, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' + 9 y ' = t 2 e 3 t + 6

Passo 1

Primeiro encontre a solução homogênea do problema.

r 2 + 9 = 0

r = ± 3 i

Solução homogênea:

y c = c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t

Seja g = g 1 + g 2   onde g 1 = 6 e g 2 = t 2 e 3 t .

Seja Y 1 = A e Y 2 = A e 3 t + B t e 3 t + C t 2 e 3 t

Primeiro resolva para Y 1 , sendo A uma constante, que diferenciada torna-se nula:

A ' ' + 9 A = 6

A = 6 9

A = 2 3

Passo 2

Agora, resolvendo para Y 2 :

A e 3 t + B t e 3 t + C t 2 e 3 t ' ' + 9 A e 3 t + B t e 3 t + C t 2 e 3 t = t 2 e 3 t

3 A e 3 t + B e 3 t + 3 B t e 3 t + 2 C t e 3 t + 3 C t 2 e 3 t ' + 9 A e 3 t + 9 B t e 3 t + 9 C t 2 e 3 t = t 2 e 3 t  

9 A e 3 t + 3 B e 3 t + 3 B e 3 t + 9 B t e 3 t + 2 C e 3 t + 6 C t e 3 t + 9 C t 2 e 3 t + 9 A e 3 t + 9 B t e 3 t + 9 C t 2 e 3 t = t 2 e 3 t

18 A + 6 B + 9 B t + 2 C + 12 C t + 18 C t 2 + 9 B t = t 2

18 A + 6 B + 2 C + 18 B + 12 C t + 18 C t 2 = 0 + 0 t + t 2

Comparando com o potinomio correspondente, podemos montar um conjunto de equações para determinar o valor de cada variável:

18 A + 6 B + 2 C = 0

18 B + 12 C = 0

18 C = 1

Isolando a terceira equação, teremos que:

C = 1 18

Substituindo na segunda equação, temos que:

18 B + 12 C = 0

18 B + 12 18 C = 0

B = - 1 27

Substituindo na primeira equação, teremos:

18 A - 6 27 + 2 18 = 0

A = 1 162

Se:

Y 2 = A e 3 t + B t e 3 t + C t 2 e 3 t

Então:

Y 2 = 1 162 e 3 t - 1 27 t e 3 t + 1 18 t 2 e 3 t

A equação y pode ser dada por:

y = y c + Y 1 + Y 2

Substituindo , temos:

y = c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t + 2 3 + 1 162 e 3 t - 1 27 t e 3 t + 1 18 t 2 e 3 t

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t + 2 3 + 1 162 e 3 t - 1 27 t e 3 t + 1 18 t 2 e 3 t

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