Question

Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e a é uma constante real.

20.

Accepted Answer

Vamos fazer... u = t 2 ed v = e a - s t - e - a + s td t d u = 2 t d t ev = e a - s t a - s + e - a + s t a + s Assim, pela fórmula de integração por partes, teremos... ∫ t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - ∫ e a - s t a - s + e - a + s t a + s 2 t d t ∫ t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 ∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s d t Veja que surgiu outra integral em t agora. O que a gente deve fazer? SIM! Integrar novamente! Vamos fazer isso em passo separado ok?Passo 3 ∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s d t Então... u = ted v = e a - s t a - s + e - a + s t a + s d t d u = d tev = e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 Substituindo na fórmula de integração por partes... ∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s d t = t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 - ∫ e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 d t ∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s d t = t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 - e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3 Passo 4Podemos então voltar para onde paramos lá no passo 2 : ∫ t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 ∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s d t Substituindo esse valor dessa integral... ∫ t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 - e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3 ∫ t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 + 2 e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3 BELEZA! Agora veja que queremos encontra a resposta dessa integral imprópria aqui: F s = 1 2 ∫ 0 + ∞ t 2 e a - s t - e - a + s t d t A integral que define a transformada de Laplace, ne? Substituindo esses limites de integração... F s = 1 2 t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 + e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3 0 + ∞ Como todas essas exponenciais vão pra 0 quando t vai para o infinito, só precisamos substituir o limite inferior: F s = - 1 2 0 e 0 a - s + e - 0 a + s - 0 e 0 a - s 2 - e 0 a + s 2 e 0 a - s 3 + e 0 a + s 3 F s = - 1 a - s 3 + 1 a + s 3 Sacou? Resposta F s = - 1 a - s 3 + 1 a + s 3

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e a é uma constante real.

20.

Passo 1

Resposta

Passo 3

Passo 4

Resposta

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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real. 20. f t = t 2 sinh ⁡ a t

Passo 1

Resposta

Passo 3

Passo 4

Resposta

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Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e a é uma constante real.

20.