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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.

20. f t = t 2 sinh ⁡ a t

Passo 1

Primeiro vamos definir o seno Hiperbólico em forma de exponenciais pra facilitar as contas:

sinh ⁡ a t = e a t - e - a t 2

SHOW! Então, buscar a Laplace de t 2 vezes o seno hiperbólico, significa resolver essa integral aqui:

F s = ∫ 0 s t 2 sinh ⁡ a t e - s t d t

F s = 1 2 ∫ 0 s t 2 e a t - e - a t e - s t d t

F s = 1 2 ∫ 0 s t 2 e a - s t - e - a + s t d t

F s = 1 2 ∫ 0 s t 2 e a - s t - e - a + s t d t

Essa integral pode ser resolvida por integração por partes, como nos pede o exercício! Vamos nessa?

Resposta

Vamos fazer...

u = t 2             e               d v = e a - s t - e - a + s t   d t

d u = 2 t d t             e               v = e a - s t a - s + e - a + s t a + s  

Assim, pela fórmula de integração por partes, teremos...

∫     t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - ∫ e a - s t a - s + e - a + s t a + s     2 t d t

∫     t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 ∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s     d t

Veja que surgiu outra integral em t agora. O que a gente deve fazer? SIM! Integrar novamente! Vamos fazer isso em passo separado ok?

Passo 3

∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s     d t

Então...

u = t                   e                       d v = e a - s t a - s + e - a + s t a + s d t

d u = d t                   e                       v = e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2

Substituindo na fórmula de integração por partes...

∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s     d t = t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 - ∫ e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2     d t

∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s     d t = t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 - e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3

Passo 4

Podemos então voltar para onde paramos lá no passo 2 :

∫     t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 ∫ t e a - s t a - s + e - a + s t a + s     d t

Substituindo esse valor dessa integral...

∫     t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 - e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3

∫     t 2 e a - s t - e - a + s t d t = t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - 2 t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 + 2 e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3

BELEZA! Agora veja que queremos encontra a resposta dessa integral imprópria aqui:

F s = 1 2 ∫ 0 + ∞ t 2 e a - s t - e - a + s t d t

A integral que define a transformada de Laplace, ne? Substituindo esses limites de integração...

F s = 1 2 t 2 e a - s t a - s + e - a + s t a + s - t e a - s t a - s 2 - e - a + s t a + s 2 + e a - s t a - s 3 + e - a + s t a + s 3 0 + ∞

Como todas essas exponenciais vão pra 0 quando t vai para o infinito, só precisamos substituir o limite inferior:

F s = - 1 2 0 e 0 a - s + e - 0 a + s - 0 e 0 a - s 2 - e 0 a + s 2 e 0 a - s 3 + e 0 a + s 3

F s = - 1 a - s 3 + 1 a + s 3

Sacou?

Resposta

F s = - 1 a - s 3 + 1 a + s 3

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