Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 9

9. Sejam x 1 ,   … ,   x n soluções linearmente independentes de x ' = P t x , e que P , é contínua em α < t < β .

a) Mostre que qualquer solução x = z t pode ser escrita na forma

z t = c 1 x 1 t + … + c n x n t

Sugestão: Use o resultado do problema 12 da seção 7.3 e o do problema 8 acima.

b) Mostre que a expressão para a solução z t no item a é única, ou seja se z t = k 1 x 1 t + … + k n x n t , então k 1 = c 1 ,   … ,   k n = c n .

Sugestão: Mostre que k 1 - c 1 x 1 t + … + k n - c n x n = 0 , para todo t em α < t < β e use a independência linear de x 1 ,   … ,   x n .

Passo 1

Poxa, vamos considerar aqui outra solução y t . Se ela é solução, então pelo princípio de linearidade da EDO...

y t + z t

É uma solução também. Como...

y t + z t = y t + c 1 x 1 t + … + c n x n t

Segue então que a nossa EDO terá n + 1 componentes de soluções fundamentais. Poxa, no problema 12 da seção 7.3 descobrimos que se isso acontece, esses conjuntos de vetores soluções são necessariamente linearmente dependentes. Isso basicamente significa que existirão b n + 1 constantes (não todas nulas) onde...

b 1 x 1 t 0 + b 2 x 2 t 0 + … + b n x n t 0 + b n + 1 y t 0 = 0

Do problema 8, descobrimos que se isso é válido para um t 0 particular, então é válido para qualquer t :

b 1 x 1 t + b 2 x 2 t + … + b n x n t + b n + 1 y t = 0

Como sabemos que o conjunto de x 1 ,   … ,   x n são linearmente independentes, temos que b n + 1 ≠ 0 , pois se isso for verdade...

b 1 x 1 t + b 2 x 2 t + … + b n x n t = 0

E como sabemos b ’s são constantes onde nem todas são nulas, logo esse conjunto de vetor aí seria Linearmente dependente (o que não é verdade).

Então, se b n + 1   não é 0 ...

y t 0 = - b 1 x 1 t 0 + b 2 x 2 t 0 + … + b n x n t 0 b n + 1

Então veja que é verdade! Qualquer solução y pode ser escrita com o conjunto fundamental de soluções LI .

Passo 2

Vamos assumir aqui que z t assuma duas soluções:

z t = c 1 x 1 t + … + c n x n t

E...

z t = k 1 x 1 t + … + k n x n t

Subtraindo uma pela outra...

z t - z t = k 1 - c 1 x 1 t + … + k n - c n x n   →

k 1 - c 1 x 1 t + … + k n - c n x n = 0

Ora bolas, x n são um conjunto de n vetores LI, o que significa que todas as constantes as constantes que multiplicam x devem ser 0 , caso contrário teríamos um conjunto LD:

k 1 - c 1 = 0 ;       k 2 - c 2 = 0   ;   … ;   k n - c n = 0

Ou seja, concluímos que essas constantes devem ser iguais:

k 1 = c 1 ;       k 2 = c 2   ;   … ;   k n = c n

Provando de fato que a solução e é única!

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem: u ' ' + 0,5 u ' + 2 u = 0
Nesse problema, vamos esquematizar a demonstração doTeorema 7.4.3no caso n=2 . Sejam x ( 1 ) e x ( 2 ) soluções da eq.(3)para αtβ , e seja W o wronskiano de x ( 1 ) e x ( 2 ) .Mostre que d W d t = d x
Considere os vetores x 1 = t 1 e x 2 = t 2 2 t .(a) Calcule o wronskiano de x 1 e x 2 .(b) Em que intervalos x 1 e x 2 são linearmente independentes?(c ) Que conclusão pode-se titrar sobre os coeficie
Sejam x 1 ,… ,x m soluções de x ' = P t x no intervalo α tβ . Suponha que P é contínua, e seja t 0 um ponto arbitrário no intervalo dado. Mostre que x 1 , … , x m são linearmente dependentes α tβ se e