Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 23
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.
23.
Passo 1
Beleza, primeiro a gente aplica a transformada na função dada:
Como a função tem comportamento diferente para dois intervalos, vamos dividir a integral em duas e somar ela para poder cobrir os dois intervalos:
Passo 2
Vamos primeiro integrar a última integral do lado direito, já que a outra vamos precisar usar integração por partes:
Aplicando os limites de integração:
Para fazermos com que a exponencial não exploda no infinito precisamos que , assim a exponencial tende a zero já que o expoente vai ficar negativo. Sobra o seguinte:
Agora vamos fazer a outra integral usando integração por partes:
Vamos chamar de e de , ficamos com:
Fazemos a integral do final:
E com os limites fica:
Passo 3
Substituindo as duas integrais lá no resultado do Passo 1:
Resolvendo: