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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 4

4 - (d x)/(d t) = a y , (d y)/(d t) = - b x ; a > 0 , b > 0 ; x (0) = sqrt(a) , y (0) = 0 .

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = a y e (d y)/(d t) = - b x

Então (d y)/(d x) = ((d y)/(d t))/((d x)/(d t))

= - (b x)/(a y)

Esta equação é separável com:

a y d y = - b x d x

Integrando ambos os lados,

(a y^2)/(2) = - (b x^2)/(2) + c_1

Ou,

a x^2 + b y^2 = 2 c_1

Das condições iniciais fornecidas.

x (0) = sqrt(a) , y (0) = 0

Então, 0 + b a = 2 c .

c = (b a)/(2)

Portanto, a solução da equação (1) é b x^2 + a y^2 = a b .

Ou, (x^2)/(a) + (y^2)/(b) = 1

Passo 2

O sistema de equações fornecido também pode ser escrito como:

([[x,'],[y,']]) = ([[0,a],[-,b,0]]) ([[x],[y]]) ... . . ( 2 )

Vamos tomar como ([[x],[y]]) = X .

Então nós temos  X^' = ([[0,a],[-,b,0]]) X

Passo 3

Tomemos X = xi e^(r t) .

Então obtemos o sistema algébrico.

([[-,r,a],[-,b,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 3 )

Os autovalores são as raízes da equação.

|[[-,r,a],[-,b,-,r]]| = 0

r^2 + a b = 0

Então os autovalores são  r_1 , r_2 = +- sqrt(a b i) .

Passo 4

Agora  r = r_1 = i sqrt(a b) , a equação ( 3 ) fornece:

([[-,i,sqrt(a b),a],[-,b,-,i,sqrt(a b)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera  i sqrt(a b) xi_1 = a xi_2 .

Então o autovetor correspondente é  xi_1 = ([[a],[i,sqrt(a b)]]) .

Da mesma forma, o autovetor correspondente ao autovalor i sqrt(a b)  é

xi_2 = xi_1

= ([[a],[-,i,sqrt(a b)]])

E a segunda solução é x^(( 2 )) = ([[a],[-,i,sqrt(a b)]]) e^(- (i sqrt(a b)) t) .

Passo 5

Para encontrar uma solução com valor real, vamos assumir que x^((1)) (t) seja

x^((1)) (t) = ([[a],[-,i,sqrt(a b)]]) e^(- (i sqrt(a b)) t)

= ([[a],[-,i,sqrt(a b)]]) ( cos sqrt(a b) t + i sen sqrt(a b) t )

= ([[acos sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),sen sqrt(a b) t]]) + i ([[a sen sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),cos sqrt(a b) t]])

Vamos substituir u (t) = ([[acos sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),sen sqrt(a b) t]]) e v (t) = ([[a sen sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),cos sqrt(a b) t]]) .

Agora  W (u , v) (t) = a sqrt(a b) != 0 , segue-se que  u ( t )  e  v ( t )  são linearmente independentes e constituem um conjunto fundamental de soluções com valor real.

Então, X = c_1 ([[acos sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),sen sqrt(a b) t]]) + c_2 ([[a sen sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),cos sqrt(a b) t]])

Ou,

([[x],[y]]) = c_1 ([[acos sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),sen sqrt(a b) t]]) + c_2 ([[a sen sqrt(a b) t],[-,sqrt(a b),cos sqrt(a b) t]])

Passo 6

Usando condições iniciais,

x (0) = sqrt(a) , y (0) = 0

Nós achamos,

([[sqrt(a)],[0]]) = ([[a,c_1],[0]]) + ([[0],[sqrt(a b),c_2]])

Logo, c_1 = (1)/(sqrt(a)) e c_2 = 0 .

Passo 7

Portanto, ([[x],[y]]) = ([[sqrt(a),cos sqrt(a b) t],[-,sqrt(b),sen sqrt(a b) t]])

Logo, x = sqrt(a) cos sqrt(a b) t e y = - sqrt(b) sen sqrt(a b) t .

Portanto, os dois conjuntos de soluções são:

x = sqrt(a) cos sqrt(a b) t , y = - sqrt(b) sen sqrt(a b) t

(x^2)/(a) + (y^2)/(b) = 1

Passo 8

Agora, as trajetórias deste sistema são:

Para determinar a direção do movimento ao longo das trajetórias, vemos que, para condições iniciais positivas, x aumentará onde y diminuirá.

Resposta

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