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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 22

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' + y = t ( 1 + sen ⁡ t )  

Passo 1

Podemos reescrever:

y ' ' + y = t ( 1 + sen ⁡ t )  

Como:

y ' ' + y = t + t sen ⁡ t  

(a) Determine a equação característica substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r   e y por 1 na equação diferencial:

r 2 + 1   =   0

Determinando as raízes, podemos aplicar em Bhaskara:

r = ± i

Onde a parte real é a = 0 e a parte imaginária é b = 1 :

y t = c 1 e a t cos ⁡ b t   + c 2 e a t sen ⁡ b t

A solução homogênea é então a soma de dois termos exponenciais com essas raízes no poder:

y t = c 1 e 0 t cos ⁡ t + c 2 e 0 t sen ⁡ t

Simplificando:

y t = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t

Passo 2

A solução particular contém os termos de t + t sen ⁡ t .

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela.

Caso 1: P n t = t s ( A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n ) .

Nosso polinômio é t , onde n = 1 , a solução Y 1 será:

Y 1 = A o t + A 1

E por fim, temos o caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos t sen ⁡ t , onde β = 1 , n = 1 e α = 0 :

Y 2 = B o t + B 1 sen ⁡ t + D o t + D 1 cos ⁡ t

A solução Y será dada por: Y = Y 1 + Y 2

Y = A o t + A 1 + B o t + B 1 sen ⁡ t + D o t + D 1 cos ⁡ t

Os termos sen ⁡ t e cos ⁡ t estão presentes na solução homogênea, nos permitindo multiplicar esses dois termos por t :

Y = A o t + A 1 + t B o t + B 1 sen ⁡ t + t D o t + D 1 cos ⁡ t

Passo 3

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A 0 = 1 ;   A 1 = 0 ; B 0 = 0 ;   B 1 = 1 4 ;

D 0 = - 1 4 ; D 1 = 0 ;

Resposta

(a) Y = A o t + A 1 + t B o t + B 1 sen ⁡ t + t D o t + D 1 cos ⁡ t

(b) A 0 = 1 ;   A 1 = 0 ; B 0 = 0 ;   B 1 = 1 4 ;

D 0 = - 1 4 ; D 1 = 0 ;

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