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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 17 a 24 :

Encontre uma equação da forma H ( x ,   y )   =   c para as trajetórias.

d x / d t   =   – x   +   y ,   d y / d t   =   – x   –   y

Passo 1

Primeiro, devemos converter em uma EDO de primeira ordem e simplificar :

d x d t . d t d y = d y d x

Temos:

d y d t = - x + y  

E também:

d t d x = 1 - x + y

Então:

d y d x = x + y x - y

Usar a regra que diz que:

y x = v x x

Se:

x + y x - y

Podemos fazer também:

x + v x x - v x

Isolando:

x ( 1 + v ) x ( v - 1 )

Cortando:

d y d x = v + x d v d x = 1 + v v - 1

Então:

1 - v v + x d v d x = 1 + v  

Então:

( 1 - v ) ( 1 + v ) d v d x = 1 v + x

Passo 2

Isolando teremos :

1 - v v 2 + 1 d v d x = 1 x

Separando e integrando:

Integrando:

∫ d v v 2 + 1 - ∫ v d v v 2 + 1 = ∫ d x x

Resolvendo:

a r c tan ⁡ v - 1 2 ln ⁡ v 2 + 1 = ln ⁡ x + c

Se v = y x :

a r c tan ⁡ y x + 1 2 ln ⁡ y 2 x 2 + 1 - ln ⁡ x = 0

Pode ser escrito como:

H x , y = a r c tan ⁡ y x + ln ⁡ x 2 + y 2

Resposta

H x , y = a r c tan ⁡ y x + ln ⁡ x 2 + y 2

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