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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 21

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' + 3 y ' = 2 t 4 + t 2 e - 3 t + sen ⁡ 3 t  

Passo 1

(a) Determine a equação característica substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r   e y por 1 na equação diferencial:

r 2 + 3 r   =   0

Determinando as raízes, podemos aplicar em Bhaskara:

r = - 3 ± 3 2 - 4 ( 1 ) ( 0 ) 2 ( 1 )

r 1 = 0

r 2 = - 3

A solução homogênea é então a soma de dois termos exponenciais com essas raízes no poder:

y t = c 1 e - 3 t + c 2 e 0 t = c 1 e - r t + c 1 ( 1 )

Passo 2

A solução específica contém os termos de 2 t 4 + t 2 e - 3 t + sen ⁡ 3 t   e potência inferior correspondente ou termos equivalentes.

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela.

Caso 1: P n t = t s ( A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n ) .

Nosso polinômio é 2 t 4 , onde n = 4 , a solução Y 1 será:

Y 1 = A o t 4 + A 1 t 3 + A 2 t 2 + A 3 t + A 4

O próximo, é equivalente ao Caso 2: P n t e α t = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n .

Nós temos t 2 e - 3 t , onde n = 2 e α = - 3 :

Y 2 = B o t 2 + B 1 t + B 2 e - 3 t

E por fim, temos o caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos sen ⁡ 3 t , onde β = 3 , n = 0 e α = 0 :

Y 3 = C sen ⁡ 3 t + D cos ⁡ 3 t

A solução Y será dada por: Y = Y 1 + Y 2 + Y 3

Y = A o t 4 + A 1 t 3 + A 2 t 2 + A 3 t + A 4 + B o t 2 + B 1 t + B 2 e - 3 t + C sen ⁡ 3 t + D cos ⁡ 3 t

Os termos e 0 e e - 3 t estão presentes na solução homogênea, nos permitindo multiplicar esses dois termos por t :

Y = A o t 4 + A 1 t 3 + A 2 t 2 + A 3 t + A 4 t + t B o t 2 + B 1 t + B 2 e - 3 t + C sen ⁡ 3 t + D cos ⁡ 3 t

Passo 3

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A 0 = 2 15 ;   A 1 = - 2 9 ; A 2 = 8 27 ;   A 3 = - 8 27 ;   A 4 = 16 81

B 0 = - 1 9 ; B 1 = - 1 9 ; B 2 = - 2 27

D = - 1 18   e   C = - 1 18

Resposta

(a) Y = A o t 4 + A 1 t 3 + A 2 t 2 + A 3 t + A 4 t + t B o t 2 + B 1 t + B 2 e - 3 t + C sen ⁡ 3 t + D cos ⁡ 3 t

(b) A 0 = 2 15 ;   A 1 = - 2 9 ; A 2 = 8 27 ;   A 3 = - 8 27 ;   A 4 = 16 81

B 0 = - 1 9 ; B 1 = - 1 9 ; B 2 = - 2 27

D = - 1 18   e   C = - 1 18

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