Considere o problema

- x y ' ' + k 2 y x = λ x y ,  

y , y ' limitados quando x → 0 ,   y 1 = 0 ,

onde k é um intervalo positivo.

c) Mostre que as autofunções ϕ n ( x ) satisfazem a relação de ortogonalidade

∫ 0 1 x ϕ m x ϕ n x d x   = 0 ,   m ≠ n .

Passo 1

c) O problema do valor de contorno é um problema de Sturnm-Liouville com

L y = - x y ' ' + k 2 x y   e   r x = 1  

Nós percebemos que

λ n ∫ 0 1 x   ϕ n x ϕ m x d x = ∫ 0 1 L ϕ n ϕ m x d x

= ∫ 0 1 ϕ n x L ϕ m d x

= λ m ∫ 0 1 x ϕ n x ϕ m x d x

Com isso

λ n - λ m ∫ 0 1 x ϕ n x ϕ m x d x = 0

Então, para n ≠ m , nós temos λ n ≠ λ m e

∫ 0 1 x ϕ n x ϕ m x d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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